Un sistema
Trovare tutte le soluzioni non negative del sistema:
[4x^2/(1+4x^2)=y,4y^2/(1+4y^2)=z,4z^2/(1+4z^2)=x]
karl.
[4x^2/(1+4x^2)=y,4y^2/(1+4y^2)=z,4z^2/(1+4z^2)=x]
karl.
Risposte
Potrebbero essere:
x = 0 V y = 0 V z = 0
x = 1/2 V y = 1/2 V z = 1/2
x = 0 V y = 0 V z = 0
x = 1/2 V y = 1/2 V z = 1/2
Una soluzione positiva è costituita dal punto fisso di
f(s)=4s^2/(1+4s^2)
cioè x=y=z=2
Si tratta di dimostrare che è l'unica ecco un procedimento.
Posto u=1/x,v=1/y e w=1/z
v=1+(u/2)^2
w=1+(v/2)^2
u=1+(w/2)^2
se u,v,w è una soluzione positiva diversa (2,2,2) allora posto g(h)=1+(h/2)^2 abbiamo che:
u=g(w)=g(g(v))=g(g(g(u)))
v=g(u)
w=g(v)=g(g(u))
Deve u<>2, in quanto se u=2 segue che v=w=2. Inoltre comunque sia h<>2 abbiamo che 1+(h/2)^2>h date che (h/2-1)^2>0, cioè g(h)>h .
Quindi
v=g(u)>u
w=g(v)>g(g(u))>g(u)>u
u=g(w)>g(g(v))>g(g(g(u)))>g(g(u))>g(u)>u
Da cui l'assurdo nato dall'aver supposto una soluzione distinta da (2,2,2). Segue che l'unica soluzione positiva è (2,2,2)
Carino
PS.
Chiaramente c'è anche la soluzione x=y=z=0 e come ha detto fireball basta che uno solo tra x,y,z sia nullo perchè lo debbano essere tutti e tre.
In conclusione esistono due soluzioni non negative quelle del post di fireball.
f(s)=4s^2/(1+4s^2)
cioè x=y=z=2
Si tratta di dimostrare che è l'unica ecco un procedimento.
Posto u=1/x,v=1/y e w=1/z
v=1+(u/2)^2
w=1+(v/2)^2
u=1+(w/2)^2
se u,v,w è una soluzione positiva diversa (2,2,2) allora posto g(h)=1+(h/2)^2 abbiamo che:
u=g(w)=g(g(v))=g(g(g(u)))
v=g(u)
w=g(v)=g(g(u))
Deve u<>2, in quanto se u=2 segue che v=w=2. Inoltre comunque sia h<>2 abbiamo che 1+(h/2)^2>h date che (h/2-1)^2>0, cioè g(h)>h .
Quindi
v=g(u)>u
w=g(v)>g(g(u))>g(u)>u
u=g(w)>g(g(v))>g(g(g(u)))>g(g(u))>g(u)>u
Da cui l'assurdo nato dall'aver supposto una soluzione distinta da (2,2,2). Segue che l'unica soluzione positiva è (2,2,2)
Carino
PS.
Chiaramente c'è anche la soluzione x=y=z=0 e come ha detto fireball basta che uno solo tra x,y,z sia nullo perchè lo debbano essere tutti e tre.
In conclusione esistono due soluzioni non negative quelle del post di fireball.
Scusa Mistral, spero che non ti senta anche tu vessato da me, ma Karl postando un problema in Medie e Superiori intendeva sottoporlo a chi le frequenta e non ha chi le ha già superate con successo.
Mistral, sicuro che sia 2 e non 1/2?
Un procedimento elementare puo' essere il seguente.
Una soluzione e' sicuramente (0,0,0);possiamo quindi
limitarci a cercare le sole soluzioni positive.
Ora e':
4x/(1+4x^2)<=1 da cui moltiplicando per x (>0):
4x^2/(1+4x^2)<=x cioe' y<=x
Analogamente: z<=y ed x<=z.
Raccogliendo risulta:[y<=x,z<=y,x<=z] e queste relazioni
sono compatibili solo e solo se x=y=z.Sostituendo ad es.
nella prima si ottiene:4x^2/(1+4x^2)=x--->x=1/2 (=y=z).
karl.
P.S. la soluzione (2,2,2) di Mistral e' riferita forse ad (u,v,w).
Una soluzione e' sicuramente (0,0,0);possiamo quindi
limitarci a cercare le sole soluzioni positive.
Ora e':
4x/(1+4x^2)<=1 da cui moltiplicando per x (>0):
4x^2/(1+4x^2)<=x cioe' y<=x
Analogamente: z<=y ed x<=z.
Raccogliendo risulta:[y<=x,z<=y,x<=z] e queste relazioni
sono compatibili solo e solo se x=y=z.Sostituendo ad es.
nella prima si ottiene:4x^2/(1+4x^2)=x--->x=1/2 (=y=z).
karl.
P.S. la soluzione (2,2,2) di Mistral e' riferita forse ad (u,v,w).
quote:
Originally posted by fireball
quote:
Originally posted by karl
la soluzione (2,2,2) di Mistral e' riferita forse ad (u,v,w).
Infatti...
Si vero x=y=z=1/2 mentre u=v=w=2 scusate l'ho scritta al volo e mi è sfuggito.
Comunque indubbiamente la soluzione di karl è più "filante" della mia, tra l'altro effettivamente non avevo realizzato che è per medie superiori la prossima volta evito di guastare il piacere della soluzione a quelli a cui principalmente è indirizzato il problema.
Saluti
Mistral
Del resto, a prima vista, se
f(x)= 4x^2/(1+4x^2)
Studiando la derivata prima si nota, a meno di errori nei miei calcoli, che questa, almeno per x >0 è monotona crescente. Da qui, distinguendo i vari casi, si giunge al risultato credo. Supponendo per esempio x<=y<=z è anche ,guardando i secondi membri, y<=z<=x e quindi x=z. Sostituendo si trova il risultato.
Attenzione che però qua il lavoro nn è finito dato che la situazione nn mi pare completamente simmetrica ma al max bisogna distinguere qualche altro caso. L'idea funziona? Il procedimento nn è 'elementare' ma 'semplice', credo...
f(x)= 4x^2/(1+4x^2)
Studiando la derivata prima si nota, a meno di errori nei miei calcoli, che questa, almeno per x >0 è monotona crescente. Da qui, distinguendo i vari casi, si giunge al risultato credo. Supponendo per esempio x<=y<=z è anche ,guardando i secondi membri, y<=z<=x e quindi x=z. Sostituendo si trova il risultato.
Attenzione che però qua il lavoro nn è finito dato che la situazione nn mi pare completamente simmetrica ma al max bisogna distinguere qualche altro caso. L'idea funziona? Il procedimento nn è 'elementare' ma 'semplice', credo...
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