Un quesito sulle mediane di un triangolo

[Sk_Anonymous]

Dimostrare che in un qualunque triangolo la somma delle
mediane e' compresa tra il semiperimetro ed il perimetro
del triangolo medesimo.

[MaMo2]

Indichiamo con a, b, c i tre lati del triangolo e con m(a), m(b), m(c) le relative mediane.

1)Dimostriamo che m(a) + m(b) + m(c) > p/2.
Consideriamo i due triangoli in cui ogni mediana divide il triangolo.
Per la disuguaglianza triangolare (la somma di due lati di un triangolo è sempre maggiore del terzo lato) si ha:
m(a) + a/2 > b
m(a) + a/2 > c
Sommandole si ottiene:
2m(a) + a > b + c
Con lo stesso ragionamento, utilizzando le altre mediane si trovano le seguenti disuguaglianze:
2m(b) + b > a + c
2m(c) + c > a + b
Sommando le tre disuguaglianze ottenute si ha:
2[m(a) + m(b) + m(c)] + a + b + c > 2(a + b + c)
cioè: m(a) + m(b) + m(c) > p/2.
In realtà si può dimostrare che m(a) + m(b) + m(c) > 3p/4.

2)Dimostriamo ora che m(a) + m(b) + m(c) < p.
Prolunghiamo la mediana m(a) oltre il punto medio del lato a del triangolo di un segmento uguale a m(a).
Unendo l'estremo del segmento con i due vertici del triangolo adiacenti al lato a otteniamo un parallelogramma.
Consideriamo uno dei due triangoli formati dalla diagonale di lunghezza 2m(a).
Per la disuguaglianza triangolare abbiamo:
2m(a) < b + c
Ripetendo il procedimento per le altre due mediane si trovano le seguenti diseguaglianze:
2m(b) < a + c
2m(c) < a + b
Sommando le tre diseguaglianze si può scrivere:
2[m(a) + m(b) + m(c)] < 2(a + b + c)
cioè: m(a) + m(b) + m(c) < p.