Un punto P(x,y) si muove nel piano.....
Un punto P(x,y) si muove nel piano in modo tale che $dx/dt =1/(t+2)$ e $ dy/dt = 2t$ per $t>=0$
a) esprimere $x$ e $y$ come funzioni di $t$ se $x=ln2$ e $y=1$ quando $t=0$
b) esprimere $y$ in funzione di $x$
c) esprimere $x$ in funzione di $y$
d) trovare il valore medio della funzione $g(x) = dy/dx $ al variare du $t$ tra $0$ e $2$
Lo spostamento fratto il tempo al tendere del tempo a zero rappresenta la velocità istantanea che è uguale alla tangente nel punto P. Pertanto riterrei di derivare il vettore posizione rispetto al tempo:
$D(dx/dt) = -1/(t+2)^2$ e $D(dy/dt) = t$ pero' a questo punto non so che cosa fare. Come faccio entrare in ballo la $x$ e la $y$ ?
Grazie
a) esprimere $x$ e $y$ come funzioni di $t$ se $x=ln2$ e $y=1$ quando $t=0$
b) esprimere $y$ in funzione di $x$
c) esprimere $x$ in funzione di $y$
d) trovare il valore medio della funzione $g(x) = dy/dx $ al variare du $t$ tra $0$ e $2$
Lo spostamento fratto il tempo al tendere del tempo a zero rappresenta la velocità istantanea che è uguale alla tangente nel punto P. Pertanto riterrei di derivare il vettore posizione rispetto al tempo:
$D(dx/dt) = -1/(t+2)^2$ e $D(dy/dt) = t$ pero' a questo punto non so che cosa fare. Come faccio entrare in ballo la $x$ e la $y$ ?
Grazie
Risposte
Ciao. Le informazioni che hai sulle coordinate $x,y$ del punto sono sotto forma di derivata (la scrittura $(dx)/(dt)$ indica la derivata di $x(t)$ rispetto al tempo, e rappresenta la componente della velocità istantanea rispetto alla direzione dell'asse $x$; analogamente per l'altra).
Quindi il problema va posto in questi termini: date le derivate temporali $x'(t)$ e $y'(t)$, ricavare $x(t)$ e $y(t)$, in particolare quelle che soddisfano le condizioni di cui al punto (a).
Per cui l'operazione che hai fatto non è utile a risolvere la questione.
Quindi il problema va posto in questi termini: date le derivate temporali $x'(t)$ e $y'(t)$, ricavare $x(t)$ e $y(t)$, in particolare quelle che soddisfano le condizioni di cui al punto (a).
Per cui l'operazione che hai fatto non è utile a risolvere la questione.
Grazie Pallit . Devo trovarmi la e la y in funzione di t semplicemente facendo l'Integrale.
ho:$x(t) = int 1/(t+2) dt$ e $y(t) = int 2tdt$ .
Non so se ho usato un formalismo giusto....
A questo punto ho:
$x(t) = ln|t+2| +c $ e $y(t) = t^2 +c'$
ed allora $ x(0) = ln2 +c $ ed $ y(0) = c'$ allora posso trovare $c $ e $c'$ in base alle informazioni date sul valore di $ x $ e $ y $ quando $ t=0$
ed ottenere : $ ln2 = ln2 + c$ da cui $c= 0 $ e $1 = 0+c'$ da cui $c'=1$ e quindi in definitiva ho:
$x(t) = ln|t+2| $ e $y(t) = t^2 +1 $
anzi direi che il valore assoluto si puo' togliere dato che $t>=0$ come da ipotesi iniziali. quindi :
$x(t) = ln(t+2) $ e $y(t) = t^2 +1 $
la risposta al punto b) mi sembra banale nel senso che mi ricavo t dalla prima in funzione di x e la sostituisco nella seconda.
$e^x = t+2$ $=>$ $ y = e^(2x) -2e^x +5$
Ti sembra giusto il ragionamento per il punto a ?
grazie
ho:$x(t) = int 1/(t+2) dt$ e $y(t) = int 2tdt$ .
Non so se ho usato un formalismo giusto....
A questo punto ho:
$x(t) = ln|t+2| +c $ e $y(t) = t^2 +c'$
ed allora $ x(0) = ln2 +c $ ed $ y(0) = c'$ allora posso trovare $c $ e $c'$ in base alle informazioni date sul valore di $ x $ e $ y $ quando $ t=0$
ed ottenere : $ ln2 = ln2 + c$ da cui $c= 0 $ e $1 = 0+c'$ da cui $c'=1$ e quindi in definitiva ho:
$x(t) = ln|t+2| $ e $y(t) = t^2 +1 $
anzi direi che il valore assoluto si puo' togliere dato che $t>=0$ come da ipotesi iniziali. quindi :
$x(t) = ln(t+2) $ e $y(t) = t^2 +1 $
la risposta al punto b) mi sembra banale nel senso che mi ricavo t dalla prima in funzione di x e la sostituisco nella seconda.
$e^x = t+2$ $=>$ $ y = e^(2x) -2e^x +5$
Ti sembra giusto il ragionamento per il punto a ?
grazie
Direi di sì. Prego!
Per quanto riguarda il punto c stesso discorso ma ricavandomi la $ y$ e sostituendola nella prima per ottenere 
dimenticavo di dire che possiamo trovare la funzione inversa tranquillamente sia nel primo caso trattato al punto b sia quello del punto c perchè sia il logaritmo che la parabola per t>o sono continue e monotone crescenti quindi invertibili)
$t = sqrt(y-1) $ prendo la positiva perchè $t>=0$ $=> $ $x= ln(sqrt(y-1) +2 ) $
d) trovare il punto medio della funzione $g(x) = dy/dx$ al variare di $t$ tra $0$ e $2$ .
per quest'ultimo punto dovrei di nuovo tirare in ballo l'integrale non prima di essermi calcolato $dx/dy $in funzione di $t$.
ottengo ; $ dx/dy = 2t/(t+2) $ e percio'
Valor medio : $ 1/(b-a) \int_[a]^ (2t)/(t+2) dt $ $= 1/(b-a) \int_[0]^[2] (2t)/(t+2) dt $ $= 1/2 2 ln(t+2) $ $= ln2$
puo' andar bene? anche e soprattutto il formalismo.
Grazie Pallit
dimenticavo di dire che possiamo trovare la funzione inversa tranquillamente sia nel primo caso trattato al punto b sia quello del punto c perchè sia il logaritmo che la parabola per t>o sono continue e monotone crescenti quindi invertibili)$t = sqrt(y-1) $ prendo la positiva perchè $t>=0$ $=> $ $x= ln(sqrt(y-1) +2 ) $
d) trovare il punto medio della funzione $g(x) = dy/dx$ al variare di $t$ tra $0$ e $2$ .
per quest'ultimo punto dovrei di nuovo tirare in ballo l'integrale non prima di essermi calcolato $dx/dy $in funzione di $t$.
ottengo ; $ dx/dy = 2t/(t+2) $ e percio'
Valor medio : $ 1/(b-a) \int_[a]^ (2t)/(t+2) dt $ $= 1/(b-a) \int_[0]^[2] (2t)/(t+2) dt $ $= 1/2 2 ln(t+2) $ $= ln2$
puo' andar bene? anche e soprattutto il formalismo.
Grazie Pallit
Ciao. A me risulta: $y(x)=e^(2x)-4e^x+5$.
Francamente avrei fatto diversamente: $g(x)=(dy)/(dx)=2e^(2x)-4e^x$, poi avrei fatto: $g[x(t)]=2e^(2x(t))-4e^(x(t))=2(t+2)^2-4(t+2)=2t^2+4t$
e quindi avrei inserito questa come funzione integranda nel calcolo del valor medio. Funziona (e forse è anche meglio perchè è più veloce) il metodo che hai messo in atto, ma hai sbagliato: hai fatto $(dx)/(dy)$, doveva essere il reciproco. Se fai i conti giusti vedi che arrivi allo stesso mio risultato.
Francamente avrei fatto diversamente: $g(x)=(dy)/(dx)=2e^(2x)-4e^x$, poi avrei fatto: $g[x(t)]=2e^(2x(t))-4e^(x(t))=2(t+2)^2-4(t+2)=2t^2+4t$
e quindi avrei inserito questa come funzione integranda nel calcolo del valor medio. Funziona (e forse è anche meglio perchè è più veloce) il metodo che hai messo in atto, ma hai sbagliato: hai fatto $(dx)/(dy)$, doveva essere il reciproco. Se fai i conti giusti vedi che arrivi allo stesso mio risultato.
Hai ragione torna $ y= e^(2x) - 4e^x +5$ mi sembra molto giusto il tuo procedimento . Hai fatto la derivata di quello che ho scritto (ora correttamente) e quindi hai sostituito a $x(t) $ il risultato di quanto trovato ai punti precedenti. Anche per dare un senso logico hai passi precedenti che debbono avere sempre un fine logico nel proseguo.
Comunque hai ragione ho calcolato $ dx/dy$ piuttosto che il reciproco . Nonostante questo errore rifacendo i calcoli non ottengo il tuo risultato in quanto:
$dy/dx = (t+2)/(2t) $ e quindi passando al valor medio :
$1/2 \int_[0]^[2] (t+2)/(2t) dt $ $ = 1/4[ \int_[0]^[2] dt + \int_[0]^[2] 2/tdt]$
e quindi $[1/4 t + 1/2lnt]$ che non è uguale al tuo risultato
Grazie Pallit
Comunque hai ragione ho calcolato $ dx/dy$ piuttosto che il reciproco . Nonostante questo errore rifacendo i calcoli non ottengo il tuo risultato in quanto:
$dy/dx = (t+2)/(2t) $ e quindi passando al valor medio :
$1/2 \int_[0]^[2] (t+2)/(2t) dt $ $ = 1/4[ \int_[0]^[2] dt + \int_[0]^[2] 2/tdt]$
e quindi $[1/4 t + 1/2lnt]$ che non è uguale al tuo risultato
Grazie Pallit
E adesso che guardo bene hai sbagliato a calcolare l'ultimo integrale,
[tex]\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\frac{2t}{t+2}dt=\int_{0}^{2}\frac{t+2-2}{t+2}dt=\int_{0}^{2}\left ( 1-\frac{2}{t+2} \right )dt=...[/tex]
[tex]\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\frac{2t}{t+2}dt=\int_{0}^{2}\frac{t+2-2}{t+2}dt=\int_{0}^{2}\left ( 1-\frac{2}{t+2} \right )dt=...[/tex]
Sbaglierò sicuramente io, comunque:__$(dy)/(dt)=2t$__,__$(dx)/(dt)=1/(t+2)$__$\Rightarrow$__$(dy)/(dx)=(dy)/(dt)*1/((dx)/(dt))=2t*1/(1/(t+2))=2t(t+2)$__$\Rightarrow$
[tex][g]=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}(2t^2+4t)\mathrm{d}t=\int_{0}^{2}(t^2+2t)\mathrm{d}t= \left. \begin{matrix}
\left ( \frac{1}{3}t^3+t^2 \right )
\end{matrix}\right|_{0}^{2}=\frac{20}{3}[/tex].
[tex][g]=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}(2t^2+4t)\mathrm{d}t=\int_{0}^{2}(t^2+2t)\mathrm{d}t= \left. \begin{matrix}
\left ( \frac{1}{3}t^3+t^2 \right )
\end{matrix}\right|_{0}^{2}=\frac{20}{3}[/tex].
Ok va bene hai ragione avevo sbagliato.
Grazie ancora Pallit.
Bravo.
Grazie ancora Pallit.
Bravo.
Prego, figurati. Ciao!
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