Un problema sui triangoli
Dato un triangolo il figura dimostrare che BP/BC=BC/BS
Costruzione: dato il triangolo ABC scelgo in modo arbitrario PQ in modo che il segmento PQ sia parallelo a AC, poi congiungo C con Q e traccio la parallela a CQ passante per A che interseca in S il prolungamento del segmento BC.
Costruzione: dato il triangolo ABC scelgo in modo arbitrario PQ in modo che il segmento PQ sia parallelo a AC, poi congiungo C con Q e traccio la parallela a CQ passante per A che interseca in S il prolungamento del segmento BC.
Risposte
Ti di solo qualche suggerimento per iniziare: per dirti di più occorre un tuo tentativo di soluzione.
Cerca nella figura due triangoli simili e scrivi la proporzionalità fra i loro lati; fai altrettanto con altri due triangoli simili. Ragiona poi sulle formule che hai scritto. Se hai altri dubbi, scrivi quello che hai ottenuto; qualcuno ti aiuterà, ma in proporzione all'impegno che hai dimostrato.
Cerca nella figura due triangoli simili e scrivi la proporzionalità fra i loro lati; fai altrettanto con altri due triangoli simili. Ragiona poi sulle formule che hai scritto. Se hai altri dubbi, scrivi quello che hai ottenuto; qualcuno ti aiuterà, ma in proporzione all'impegno che hai dimostrato.
SAC e PAQ sono simili per costruzione, APQ e ACQ sono simili perche hanno due angoli uguali( QAP = AQC e AQP=QAC) e un lato in comune. Ma questo l'avevo gia notato, pero nn so cosa fare dopo.
Non mi pare proprio che "SAC e PAQ sono simili per costruzione" e non vedo alcun motivo per cui gli angoli che citi debbano essere uguali. I triangoli di cui parlavo sono già tutti disegnati in figura. Ti aiuto ancora, dicendo che i triangoli ABC e PBQ sono simili, ma devi spiegarne il perché, e non con frasi vaghe come "per costruzione".
Senza questa risposta non darò altri aiuti ed invito tutti gli utenti non farlo.
Senza questa risposta non darò altri aiuti ed invito tutti gli utenti non farlo.
scusa ma in questo modo come pensi d'imparare?
ti assicuro che io in matematica faccio una fatica bestiale. Ma non mi arrendo mica, anzi ...
grazie a questo forum sto imparando davvero molto pur (come detto prima) facendo fatica; ma è questo il gusto che si prova dopo essere riusciti, da soli, a svolgere un esercizio che seppur banale per tutti per te non lo era.
Dovrebbe venirti automatica la voglia di ritrovare questo gusto, (se hai stima di te stesso ovviamente).
Chiedere soluzioni a sbaffo $=$ non avere auto-stima di se stessi $=$ non avere rispetto per gli altri
ti assicuro che io in matematica faccio una fatica bestiale. Ma non mi arrendo mica, anzi ...
grazie a questo forum sto imparando davvero molto pur (come detto prima) facendo fatica; ma è questo il gusto che si prova dopo essere riusciti, da soli, a svolgere un esercizio che seppur banale per tutti per te non lo era.
Dovrebbe venirti automatica la voglia di ritrovare questo gusto, (se hai stima di te stesso ovviamente).
Chiedere soluzioni a sbaffo $=$ non avere auto-stima di se stessi $=$ non avere rispetto per gli altri
@ serafila. E' evidente che finora non hai cercato di capire la geometria, limitandoti a qualche frase orecchiata e spesso usata a sproposito. Probabilmente pensi di essere negata, ma ti garantisco che la geometria può essere capita da chiunque abbia una normale intelligenza ed un pizzico di buona volontà.
Provo ancora a farti ragionare, ma è indispensabile che tu lo faccia. Partiamo da zero: quali sono ipotesi e tesi?
Provo ancora a farti ragionare, ma è indispensabile che tu lo faccia. Partiamo da zero: quali sono ipotesi e tesi?
Tesi: Dato un triangolo il figura dimostrare che BP/BC=BC/BS o anche BS/BC=BC/BP.
Ipotesi: CA e PQ paralleli per costruzione, CQ e SA paralleli per costruzione.
Chiamo N il punto in cui la parallela a CA passante per S interseca il prolungamento di AB. BPQ è simile a BCA. Infatti la coppia di triangoli ha 3 angoli uguali (c'è un criterio che dice che se 3 angoli sono uguali il triangolo è simile). L'angolo PBQ è in comune ai due triangoli, quindi è uguale. Prendiamo ACB, QPB e CAB, PQB; sono simili perché formati dall' incontro di due coppie di rette a 2 a 2 parallele. BP parallela a BC e PQ parallela a CA. BQ parallela a BA e CA parallela a PQ.
Quindi BPQ e BCA sono simili. Con lo stesso metodo posso dimostrare che BPQ simile a BSN e BCA simile a BSN. Ora scrivo cosa comportano queste 3 coppie di triangoli simili.
BPQ simile a BCA : BP/BC=BQ/BA=PQ/CA
BPQ simile BSN : BP/BS=BQ/BN=PQ/SN
BCA simile a BSN : BC/BS=BA/BN=CA/SN
Ipotesi: CA e PQ paralleli per costruzione, CQ e SA paralleli per costruzione.
Chiamo N il punto in cui la parallela a CA passante per S interseca il prolungamento di AB. BPQ è simile a BCA. Infatti la coppia di triangoli ha 3 angoli uguali (c'è un criterio che dice che se 3 angoli sono uguali il triangolo è simile). L'angolo PBQ è in comune ai due triangoli, quindi è uguale. Prendiamo ACB, QPB e CAB, PQB; sono simili perché formati dall' incontro di due coppie di rette a 2 a 2 parallele. BP parallela a BC e PQ parallela a CA. BQ parallela a BA e CA parallela a PQ.
Quindi BPQ e BCA sono simili. Con lo stesso metodo posso dimostrare che BPQ simile a BSN e BCA simile a BSN. Ora scrivo cosa comportano queste 3 coppie di triangoli simili.
BPQ simile a BCA : BP/BC=BQ/BA=PQ/CA
BPQ simile BSN : BP/BS=BQ/BN=PQ/SN
BCA simile a BSN : BC/BS=BA/BN=CA/SN
Bene: ipotesi e tesi sono giuste e lo è anche la dimostrazione della similitudine fra ABC e PBQ. Si poteva abbreviarla col teorema "La parallela ad un lato di un triangolo individua con le rette degli altri due lati un triangolo simile al precedente".
Da questa similitudine ricavi
$BQ:AB=BP:BC$
Per proseguire non occorre tracciare l'altra parallela; un accorgimento spesso utile è chiedersi se si è usata tutta l'ipotesi. Osservandola, noti che hai usato il parallelismo fra PQ ed AC ma non l'altro parallelismo, col quale possiamo fare un ragionamento analogo. Col teorema che ho citato, oppure con un ragionamento simile al tuo, ne concludiamo che sono simili anche i triangoli QBC ed ABS (accertati di aver ben capito questa mia frase) e quindi scriviamo
$BQ:AB=BC:BS$
Confrontiamo ora le due formule: i primi membri sono uguali, quindi lo sono anche i secondi e ne deriva
$BP:BC=BC:BS$
che è la tesi.
Da questa similitudine ricavi
$BQ:AB=BP:BC$
Per proseguire non occorre tracciare l'altra parallela; un accorgimento spesso utile è chiedersi se si è usata tutta l'ipotesi. Osservandola, noti che hai usato il parallelismo fra PQ ed AC ma non l'altro parallelismo, col quale possiamo fare un ragionamento analogo. Col teorema che ho citato, oppure con un ragionamento simile al tuo, ne concludiamo che sono simili anche i triangoli QBC ed ABS (accertati di aver ben capito questa mia frase) e quindi scriviamo
$BQ:AB=BC:BS$
Confrontiamo ora le due formule: i primi membri sono uguali, quindi lo sono anche i secondi e ne deriva
$BP:BC=BC:BS$
che è la tesi.
Ipotesi: CA e PQ paralleli per costruzione, CQ e SA paralleli per costruzione.
Tesi: Dato un triangolo il figura dimostrare che BP/BC=BC/BS o anche BS/BC=BC/BP.
BPQ è simile a BCA. Infatti i due triangoli ha 3 angoli uguali (c'è un criterio che dice che se 2 angoli sono uguali i due triangoli sono simili (primo criterio)). L'angolo PBQ è in comune ai due triangoli, quindi è uguale. Prendiamo ACB, QPB e CAB, PQB; sono simili perché formati dall' incontro di due coppie di rette a 2 a 2 parallele. BP parallela a BC e PQ parallela a CA. BQ parallela a BA e CA parallela a PQ.
Quindi BPQ e BCA sono simili. Quindi:
1) BP/BC=BQ/BA
con un ragionamento simile concludiamo che sono simili anche i triangoli QBC ed ABS
2) BQ/BA=BC/BS
da 1) e 2)
BP/BC=BQ/BA=BC/BS. Quindi:
BP/BC=BC/BS
Se l'esercizio richiedeva di usare Talete e non il primo criterio di similitudine dei triangoli puoi dire che il teorema di talete implica il primo criterio di similitudine dei triangoli come spiega bene in questo link: http://www.ripmat.it/mate/f/fp/fpfb.html
Ho due triangoli che hanno due angoli uguali, allora per il teorema di talete sono simili.
Tesi: Dato un triangolo il figura dimostrare che BP/BC=BC/BS o anche BS/BC=BC/BP.
BPQ è simile a BCA. Infatti i due triangoli ha 3 angoli uguali (c'è un criterio che dice che se 2 angoli sono uguali i due triangoli sono simili (primo criterio)). L'angolo PBQ è in comune ai due triangoli, quindi è uguale. Prendiamo ACB, QPB e CAB, PQB; sono simili perché formati dall' incontro di due coppie di rette a 2 a 2 parallele. BP parallela a BC e PQ parallela a CA. BQ parallela a BA e CA parallela a PQ.
Quindi BPQ e BCA sono simili. Quindi:
1) BP/BC=BQ/BA
con un ragionamento simile concludiamo che sono simili anche i triangoli QBC ed ABS
2) BQ/BA=BC/BS
da 1) e 2)
BP/BC=BQ/BA=BC/BS. Quindi:
BP/BC=BC/BS
Se l'esercizio richiedeva di usare Talete e non il primo criterio di similitudine dei triangoli puoi dire che il teorema di talete implica il primo criterio di similitudine dei triangoli come spiega bene in questo link: http://www.ripmat.it/mate/f/fp/fpfb.html
Ho due triangoli che hanno due angoli uguali, allora per il teorema di talete sono simili.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo