Un polinomio particolare
Vi propongo questo quesito, tratto dal test della scuola Normale di Pisa, anno 1978...
Che forma deve avere un polinomio $P(x)$ se soddisfa la relazione $1-x^4<=P(x)<=1+x^4$?
Io per adesso ho ragionato per via grafica... ho dedotto che naturalmente il termine noto del polinomio deve essere $1$...
Inoltre, è intuitivo (la dimostrazione credo che però non sia così facile) che la derivata della funzione associata al polinomio,
$P'(x)$ per $x=0$ debba valere $0$, visto che graficamente si osserva che in quel punto la funzione associata al polinomio ha
un massimo od un minimo... Per cui ho dedotto che il coefficiente del termine di primo grado deve essere $0$...
Idee per andare avanti? I miei ragionamenti vi sembrano abbastanza corretti?
Che forma deve avere un polinomio $P(x)$ se soddisfa la relazione $1-x^4<=P(x)<=1+x^4$?
Io per adesso ho ragionato per via grafica... ho dedotto che naturalmente il termine noto del polinomio deve essere $1$...
Inoltre, è intuitivo (la dimostrazione credo che però non sia così facile) che la derivata della funzione associata al polinomio,
$P'(x)$ per $x=0$ debba valere $0$, visto che graficamente si osserva che in quel punto la funzione associata al polinomio ha
un massimo od un minimo... Per cui ho dedotto che il coefficiente del termine di primo grado deve essere $0$...
Idee per andare avanti? I miei ragionamenti vi sembrano abbastanza corretti?
Risposte
"maurer":
Vi propongo questo quesito, tratto dal test della scuola Normale di Pisa, anno 1978...
Che forma deve avere un polinomio $P(x)$ se soddisfa la relazione $1-x^4<=P(x)<=1+x^4$?
Io per adesso ho ragionato per via grafica...
Ritengo che la funzione polinomiale cercata debba essere del tipo $P(x)=1+ax^4$ con $-1
quindi il punto $(0;1)$ è un'intersezione del quarto ordine per le due funzioni,
il polinomio $P(x)$ che deve passare in mezzo deve avere anch'esso in $(0;1)$ un'intersezione dello stesso ordine con le funzioni considerate, altrimenti le interseca in altri punti.
Ho corretto la forma degli apici sulle derivate perché ho scoperto che non comparivano
Anch'io ero giunto a questa conclusione... solo che ho impiegato molto più tempo e molti più calcoli... Ho analizzato prima i casi $cx^2+1$ e $bx^3+cx^2+1$, mostrando che non soddisfacevano mai le ipotesi... Poi ho preso un polinomio di quarto grado $ax^4+bx^3+cx^2+1$ e risolvendo le disequazioni ho trovato che doveva essere $c>=0$ e contemporaneamente $c<=0$, quindi si deduceva $c=0$... Analogamente si trovava $b$... infine saltava fuori $a-1<0 rarr a<=1$ e $a+1>=0 rarr a>-1$, quindi $-1<=a<=1$...
Mi potresti spiegare che cos'è un'intersezione di ordine n per due funzioni? Non ho mai sentito utilizzare questa terminologia...
Mi potresti spiegare che cos'è un'intersezione di ordine n per due funzioni? Non ho mai sentito utilizzare questa terminologia...
maurer potresti postare la tua soluzione per favore ? grazie ciao
Ok... Allora, il termine noto deve essere per forza $1$, visto che per $x=0$ si ha $1<=P(0)<=1$... Se poi si considera il grafico di $1-x^4$ e $1+x^4$ risulta intuitivo che $P'(0)=0$ (dico intuitivo perché a occhio si capisce che è così... naturalmente andrebbe dimostrato!)... A questo punto ottengo che il coefficiente del termine di primo grado deve essere uguale a $0$.
Consideriamo ora il polinomio $P_1(x)=cx^2+1$. Si ha che
$\{(cx^2+1>=1-x^4),(cx^2+1<=1+x^4):} rarr \{(x^2(x^2+c)>=0),(x^2(x^2-c)>=0):}$
Ora, visto che deve essere $AA x \in RR 1-x^4<=P(x)<=1+x^4$, le due disequazioni devono sempre essere verificate, quindi nella prima deve essere $c>=0$ e nella seconda $c<=0$, per cui deve essere $c=0$.
Procedo poi ad analizzare un polinomio nella forma $P_2(x)=bx^3+cx^2+1$... questo perché non ho dimostrato prima (almeno non credo) che il coefficiente del termine di secondo grado debba sempre essere nullo... ma solo se considero un polinomio di quella forma particolare...
Comunque, senza postare i conticini, arrivo a
$\{(x^2(x^2+bx-c)>=0),(x^2(x^2-bx-c)>=0):}$
da cui, calcolando il $\Delta$ dei due fattori che compongono le disequazioni trovo che deve essere $b^2-4c<=0$ e $b^2+4c<=0 AA b,c \in RR$, quindi deve essere $c<=0$ e $c>=0$, quindi nuovamente $c=0$. Ma allora diventa $b^2<=0$ e quindi $b=0$.
Considero in ultimo il caso $P_3(x)=ax^4+b^3+cx^2+1$, arrivando a
$\{(x^2[(a+1)x^2+bx+c]>=0),(x^2[(a-1)x^2+bx+c]<=0):}
Beh, il procedimento è sempre il solito... ormai l'avrai capito... in questo caso, soltanto, si trova che deve essere $a+1>=0$ e $a-1<=0$, da cui si arriva banalmente a $-1<=a<=1$... Quindi la soluzione è quella già postata da @melia...
Intuitivo è che se considero un polinomio di grado superiore questo non verificherà mai l'ipotesi di partenza... naturalmente anche questo sarebbe da dimostrare! Sinceramente non mi ci sono nemmeno messo... era per questo che ero interessato alle intersezioni del quarto ordine...
è chiaro il ragionamento? A parte i due punti senza dimostrazione, vi sembra che regga?
Consideriamo ora il polinomio $P_1(x)=cx^2+1$. Si ha che
$\{(cx^2+1>=1-x^4),(cx^2+1<=1+x^4):} rarr \{(x^2(x^2+c)>=0),(x^2(x^2-c)>=0):}$
Ora, visto che deve essere $AA x \in RR 1-x^4<=P(x)<=1+x^4$, le due disequazioni devono sempre essere verificate, quindi nella prima deve essere $c>=0$ e nella seconda $c<=0$, per cui deve essere $c=0$.
Procedo poi ad analizzare un polinomio nella forma $P_2(x)=bx^3+cx^2+1$... questo perché non ho dimostrato prima (almeno non credo) che il coefficiente del termine di secondo grado debba sempre essere nullo... ma solo se considero un polinomio di quella forma particolare...
Comunque, senza postare i conticini, arrivo a
$\{(x^2(x^2+bx-c)>=0),(x^2(x^2-bx-c)>=0):}$
da cui, calcolando il $\Delta$ dei due fattori che compongono le disequazioni trovo che deve essere $b^2-4c<=0$ e $b^2+4c<=0 AA b,c \in RR$, quindi deve essere $c<=0$ e $c>=0$, quindi nuovamente $c=0$. Ma allora diventa $b^2<=0$ e quindi $b=0$.
Considero in ultimo il caso $P_3(x)=ax^4+b^3+cx^2+1$, arrivando a
$\{(x^2[(a+1)x^2+bx+c]>=0),(x^2[(a-1)x^2+bx+c]<=0):}
Beh, il procedimento è sempre il solito... ormai l'avrai capito... in questo caso, soltanto, si trova che deve essere $a+1>=0$ e $a-1<=0$, da cui si arriva banalmente a $-1<=a<=1$... Quindi la soluzione è quella già postata da @melia...
Intuitivo è che se considero un polinomio di grado superiore questo non verificherà mai l'ipotesi di partenza... naturalmente anche questo sarebbe da dimostrare! Sinceramente non mi ci sono nemmeno messo... era per questo che ero interessato alle intersezioni del quarto ordine...
è chiaro il ragionamento? A parte i due punti senza dimostrazione, vi sembra che regga?
"maurer":
Mi potresti spiegare che cos'è un'intersezione di ordine n per due funzioni?
È il numero di soluzioni coincidenti che produce il sistema tra le due funzioni.
Ad esempio tra una retta e una conica puoi avere solo intersezioni del primo ordine, se le curve sono secanti, o del secondo quando sono tangenti.
Invece tra la retta che interseca una cubica nel punto di flesso ha un'intersezione del terzo ordine con la cubica stessa, qualunque altra tangente alla cubica avrà un'intersezione del secondo ordine con la cubica nel punto di tangenza e un'intersezione del primo ordine nel punto in cui è secante.
Nel caso di funzioni razionali la cosa è semplice perchè basta trovare la molteplicità delle soluzioni all'interno del sistema, negli altri casi è opportuno ricorrere alle derivate per analizzare il comportamento.
"@melia":
il polinomio $P(x)$ che deve passare in mezzo deve avere anch'esso in $(0;1)$ un'intersezione dello stesso ordine con le funzioni considerate, altrimenti le interseca in altri punti.
Ecco... credo di aver capito che cos'è un'intersezione di ordine n... ma non riesco a capire quest'affermazione...
Provo a spiegare il mio dubbio... Consideriamo ad esempio le due funzioni $f(x)=1+x^4$ e $g(x)=1-x^2$. Se ho capito bene il punto $(0;1)$ rappresenta per $f$ e per $g$ un'intersezione del secondo ordine, giusto? Ma allora, in base a quello che avevi detto, io ho capito che $g(x)$ debba intersecare $f(x)$ in altri due punti, che però non esistono... e infatti le altre due soluzioni del sistema sono complesse... Che cos'è che non ho capito?
Ritengo significhi questo :
per ottenere le intersezioni tra $ f(x) =1-x^4 $ e $g(x) =1-x^2 $ devo fare sistema delle due funzioni e risolverlo.
Ottengo l'equazione $x^2(x^2+1) = 0 $ che ha due soluzioni complesse e coniugate che non ci interessano e una soluzione reale $x=0 $ che è radice doppia ed è questo il fatto importante .Quindi il punto $P(0,1) $ è un punto di intersezione del secondo ordine.Le due curve non si intersecano semplicemente ma il loro contatto è di ordine superiore ( hanno la stessa retta tangente ) .
per ottenere le intersezioni tra $ f(x) =1-x^4 $ e $g(x) =1-x^2 $ devo fare sistema delle due funzioni e risolverlo.
Ottengo l'equazione $x^2(x^2+1) = 0 $ che ha due soluzioni complesse e coniugate che non ci interessano e una soluzione reale $x=0 $ che è radice doppia ed è questo il fatto importante .Quindi il punto $P(0,1) $ è un punto di intersezione del secondo ordine.Le due curve non si intersecano semplicemente ma il loro contatto è di ordine superiore ( hanno la stessa retta tangente ) .
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