Un paio di limiti
Salve, mi sono imbattuto nei seguenti limiti che non riesco a svolgere:
1) [tex]\lim_{x->1} (sin \pi x)/(sin 3\pi x)\,[/tex] il risultato è 1/3
2) [tex]\lim_{n->\infty} (n sin (\pi/n))\,[/tex] il risultato è [tex]\pi[/tex]
3) [tex]\lim_{x->0} (1-cos x)/x^2 \,[/tex] il risultato è 1/2
Vi ringrazio in anticipo per le risposte.
1) [tex]\lim_{x->1} (sin \pi x)/(sin 3\pi x)\,[/tex] il risultato è 1/3
2) [tex]\lim_{n->\infty} (n sin (\pi/n))\,[/tex] il risultato è [tex]\pi[/tex]
3) [tex]\lim_{x->0} (1-cos x)/x^2 \,[/tex] il risultato è 1/2
Vi ringrazio in anticipo per le risposte.
Risposte
Più di un paio. Sono 3!
A parte gli scherzi, ad occhio, si risolvono sfruttando il limite notevole $lim_(x ->0) sinx/x = 1$.
A parte gli scherzi, ad occhio, si risolvono sfruttando il limite notevole $lim_(x ->0) sinx/x = 1$.
"MaMo":
Più di un paio. Sono 3!
A parte gli scherzi, ad occhio, si risolvono sfruttando il limite notevole $lim_(x ->0) sinx/x = 1$.
Certo che ho sfruttato sempre quel limite noto, però con questi esercizi non riesco a ricondurli a $lim_(x ->0) sinx/x = 1$. Sai il procedimento?
Il terzo limite è un limite notevole, imparalo a memoria.....su wikipedia ci sono i limiti notevoli.
Per risolvere il primo:
ricordati che per risolvere un limite, puoi aggiungere a piacimento degli elementi per farlo 'assomigliare' ad un limite notevole, purchè l'espressione non cambi.
Come ha detto MaMo, devi utilizzare $(sin(x))/x$
prova a sbatterti un pò e fatti la domanda: "cosa devo aggiungere per far assomigliare l'espressione a $(sin(x))/x$ o eventualmente a $x/sin(x)$ ?"
Per risolvere il primo:
ricordati che per risolvere un limite, puoi aggiungere a piacimento degli elementi per farlo 'assomigliare' ad un limite notevole, purchè l'espressione non cambi.
Come ha detto MaMo, devi utilizzare $(sin(x))/x$
prova a sbatterti un pò e fatti la domanda: "cosa devo aggiungere per far assomigliare l'espressione a $(sin(x))/x$ o eventualmente a $x/sin(x)$ ?"
"psodp":
1) [tex]\lim_{x->1} (sin \pi x)/(sin 3\pi x)\,[/tex] il risultato è 1/3
magari $x \to 0^+$?
No, è lim x->1; se non mi credi guarda qui:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... pi+x%29%29
@mike101: è da circa 3 ore che sono bloccato con questi esercizi.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... pi+x%29%29
@mike101: è da circa 3 ore che sono bloccato con questi esercizi.
Il terzo limite è un limite notevole, am lo puoi scomporre nel seguente modo:
$lim_(x->0) ((sen x )/x)^2 * 1/(1+cos x) -> 1^2 *1/(1+1) = 1/2$
Perchè $ 1-cos^2 x$ è uguale a $sen^2 x$.
PS: Aggiungo anche questo limite che non riesco a svolgere: $lim_(x->a) (sen x - sen a)/(x-a)$
Grazie ancora in anticipo per le vostre risposte.
$lim_(x->0) ((sen x )/x)^2 * 1/(1+cos x) -> 1^2 *1/(1+1) = 1/2$
Perchè $ 1-cos^2 x$ è uguale a $sen^2 x$.
PS: Aggiungo anche questo limite che non riesco a svolgere: $lim_(x->a) (sen x - sen a)/(x-a)$
Grazie ancora in anticipo per le vostre risposte.
Per il primo ti conviene una sostituzione $t=x-1$, ovviamente se $x->1$ allora $t->0$, sostituisci, sviluppa le somme dovrebbe venirti $lim_(t->0) (sin pi t)/(sin pi 3t)$ adesso scomponi il limite in due parti $lim_(t->0) (sin pi t)/(pi t)*(3 pi t)/(sin pi 3t)*1/3$ e questo è fatto
Per il secondo $lim_(n->oo) n*sin (pi/n)$ basta porre $n=1/x$, con $x->0$ dovresti riconoscerlo in un passaggio
Il terzo va bene. Sappi che lo userai così tante volte da annoverarlo tra i limiti notevoli
Per il quarto ancora una sostituzione $x-a=t$, anche questo viene notevole con due semplici calcoli
Per il secondo $lim_(n->oo) n*sin (pi/n)$ basta porre $n=1/x$, con $x->0$ dovresti riconoscerlo in un passaggio
Il terzo va bene. Sappi che lo userai così tante volte da annoverarlo tra i limiti notevoli
Per il quarto ancora una sostituzione $x-a=t$, anche questo viene notevole con due semplici calcoli
"@melia":
Per il primo ti conviene una sostituzione $t=x-1$, ovviamente se $x->1$ allora $t->0$, sostituisci, sviluppa le somme dovrebbe venirti $lim_(t->0) (sin pi t)/(sin pi 3t)$ adesso scomponi il limite in due parti $lim_(t->0) (sin pi t)/(pi t)*(3 pi t)/(sin pi 3t)*1/3$ e questo è fatto
Per il secondo $lim_(n->oo) n*sin (pi/n)$ basta porre $n=1/x$, con $x->0$ dovresti riconoscerlo in un passaggio
Il terzo va bene. Sappi che lo userai così tante volte da annoverarlo tra i limiti notevoli
Per il quarto ancora una sostituzione $x-a=t$, anche questo viene notevole con due semplici calcoli
Grazie ancora @melia. Le spiegazioni mi sembrano esaurienti e spero di non doverti di nuovo scomodare.
Ciao e grazie
Veidamo se ho capito bene (in ordine inverso):
4) $lim_(x->a) (sen x-sen a)/(x-a)=lim_(x->a) (2sen((x-a)/2)*cos((x+a)/2))/(x-a)$ Grazie ad una delle formule di prostaferesi.
$=lim_(x->a) (2sen((x-a)/2))/(x-a)*cos((x+a)/2)=lim_(x->a) (sen((x-a)/2))/((x-a)/2)*cos((x-a+2a))$ Visto che $x+a=x+a-a+a$
Poniamo $x-a=2y$ ottengo:
$lim_(y->0) (sen y)/y*cos((2y+2a)/2)=lim_(y->0) (sen y)/y*cos(y+a) -> 1 * cos(0+a)=cos(a)$
3) Il terzo è un limite notevole, ma è possibile arrivarci con un pò di pazienza.
2) $lim_(n->infty) n*sen (pi/n)$ Poniamo $n=1/x$
$=lim_(n->infty) 1/x*sen (pi/(1/x))=lim_(n->infty) 1/x*sen (pi*x)=lim_(n->infty) (sen (pi*x))/x*pi/pi=lim_(n->infty) (sen (pi*x))/(pi*x)*pi->pi
1) Il primo mi crea un pò di problemi visto che mi è stato consigliato di fare una sostituzione: $ x-1=t$ e non mi riesce trasformare il limite
$lim_(x->1) (sen (pi*x))/(sen(3*pi*x))$ nel seguente modo: $lim_(x->1) (sen (pi*x-1))/(sen(3*pi*x-1))$
Come devo fare?
Grazie per la pazienza.
4) $lim_(x->a) (sen x-sen a)/(x-a)=lim_(x->a) (2sen((x-a)/2)*cos((x+a)/2))/(x-a)$ Grazie ad una delle formule di prostaferesi.
$=lim_(x->a) (2sen((x-a)/2))/(x-a)*cos((x+a)/2)=lim_(x->a) (sen((x-a)/2))/((x-a)/2)*cos((x-a+2a))$ Visto che $x+a=x+a-a+a$
Poniamo $x-a=2y$ ottengo:
$lim_(y->0) (sen y)/y*cos((2y+2a)/2)=lim_(y->0) (sen y)/y*cos(y+a) -> 1 * cos(0+a)=cos(a)$
3) Il terzo è un limite notevole, ma è possibile arrivarci con un pò di pazienza.
2) $lim_(n->infty) n*sen (pi/n)$ Poniamo $n=1/x$
$=lim_(n->infty) 1/x*sen (pi/(1/x))=lim_(n->infty) 1/x*sen (pi*x)=lim_(n->infty) (sen (pi*x))/x*pi/pi=lim_(n->infty) (sen (pi*x))/(pi*x)*pi->pi
1) Il primo mi crea un pò di problemi visto che mi è stato consigliato di fare una sostituzione: $ x-1=t$ e non mi riesce trasformare il limite
$lim_(x->1) (sen (pi*x))/(sen(3*pi*x))$ nel seguente modo: $lim_(x->1) (sen (pi*x-1))/(sen(3*pi*x-1))$
Come devo fare?
Grazie per la pazienza.
Se non puoi trasformare $lim_(x->1) (sen (pi*x))/(sen(3*pi*x))$ in $lim_(x->1) (sen (pi*x-1))/(sen(3*pi*x-1))$, basta fare $x=t+1$, scusami se lo avevo scritto in modo sibillino, e $lim_(x->1) (sen (pi*x))/(sen(3*pi*x))=lim_(t->0) (sen (pi*(t+1)))/(sen(3*pi*(t+1)))=lim_(t->0) (sen (pit+pi))/(sen(3pi t+3pi))$ quindi applichi le formule di somma o quelle sugli archi associati
"psodp":
@mike101: è da circa 3 ore che sono bloccato con questi esercizi.
scusami, volevo farti arrivare al procedimento sono tornato al forum solo ora
Grazie mille per la risposta. Infatti ho risotlo così:
$ lim_(x->1) (sen pi x)/(sen 3 pi x) =$ /* Poniamo $ x=t+1$ */ $lim_(t->0) ( sen (t pi+ pi))/(sen (3 t pi+ 3 pi))=$ Uso la formula di addizione del seno:
$= lim_(x->0) ( sen (pi t) cos pi + cos (pi t) sen pi)/(sen (3 pi) cos (3 pi t)+ cos (3 pi t) sen (3 pi))=lim_(x->0) (pi t * (sen (pi t))/(pi t) * cos pi + cos(pi t) * (sen pi)/pi * pi)/(3 pi t* ( sen(3 pi t))/(3 pi t) * cos (3 pi) + cos(3 pi t)* (sen (3 pi))/(3 pi)*3 pi) $
Visto che $ pi t -> 0$ (e anche $ 3 pi t ->0$) perchè $t->0$, allora $pi t * (sen (pi t))/(pi t) * cos pi -> 0$ come anche $3 pi t* ( sen(3 pi t))/(3 pi t) * cos (3 pi) ->0$.
Quindi rimane: $lim_(x->0) (0+ cos(pi t) * (sen pi)/pi * pi)/(0 + cos(3 pi t)* (sen (3 pi))/(3 pi)*3 pi)= $ e questo è un rapporto che tende ad $1/3$. Ho risolto bene?
Ho risolto anche la seguente espressione, nello stesso modo della precedente, anche se non sono sicuro del risultato:
$lim(x-> -2) (tg (pi x))/(x+2)=$ */ Poniamo x=t+2 */ $=lim(t-> 0) (tg (pi t + 2 pi))/(t+4)=$ /* Uso la formula di addizione della tangente */ $lim(t-> 0) (tg (pi*t)+tg (2 pi))/ (1-tg (pi t)tg(2 pi))*(t+4)$
Visto che $tg 0 = 0$ e che $ tg k pi =0$ con k un numero intero allora ottengo: $lim(t-> 0) (0+0)/ (1-0)*(0+4)$ che tende a $-> 0$ E' corretto?
Poi mi sono imbattuto nei seguenti limiti che non riesco a risolvere; posso avere un aiuto per risolverli?
A) $ lim_(n->infty) (1-1/n)^n -> e^-1$
B) $ lim_(x->infty) (x/(x+1))^x -> e^-1$
C) $ lim_(x->infty) ((x-1)/(x+3))^(x+2) -> e^-4$
Sul libro c'è scritto:
Per trovare i limiti del tipo $lim_(x->a) [ \varphi(x)]^(\psi(x))$ dove $ lim_(x->a) \psi(x) -> infty$ e $ lim_(x->a) \varphi(x)->1$, si pone $\varphi(x)= 1 + a(x)$ dove $a(x)->0$ per $x->a$. Cioè, in parole semplici, cosa dovrei fare?
Grazie ancora.
$ lim_(x->1) (sen pi x)/(sen 3 pi x) =$ /* Poniamo $ x=t+1$ */ $lim_(t->0) ( sen (t pi+ pi))/(sen (3 t pi+ 3 pi))=$ Uso la formula di addizione del seno:
$= lim_(x->0) ( sen (pi t) cos pi + cos (pi t) sen pi)/(sen (3 pi) cos (3 pi t)+ cos (3 pi t) sen (3 pi))=lim_(x->0) (pi t * (sen (pi t))/(pi t) * cos pi + cos(pi t) * (sen pi)/pi * pi)/(3 pi t* ( sen(3 pi t))/(3 pi t) * cos (3 pi) + cos(3 pi t)* (sen (3 pi))/(3 pi)*3 pi) $
Visto che $ pi t -> 0$ (e anche $ 3 pi t ->0$) perchè $t->0$, allora $pi t * (sen (pi t))/(pi t) * cos pi -> 0$ come anche $3 pi t* ( sen(3 pi t))/(3 pi t) * cos (3 pi) ->0$.
Quindi rimane: $lim_(x->0) (0+ cos(pi t) * (sen pi)/pi * pi)/(0 + cos(3 pi t)* (sen (3 pi))/(3 pi)*3 pi)= $ e questo è un rapporto che tende ad $1/3$. Ho risolto bene?
Ho risolto anche la seguente espressione, nello stesso modo della precedente, anche se non sono sicuro del risultato:
$lim(x-> -2) (tg (pi x))/(x+2)=$ */ Poniamo x=t+2 */ $=lim(t-> 0) (tg (pi t + 2 pi))/(t+4)=$ /* Uso la formula di addizione della tangente */ $lim(t-> 0) (tg (pi*t)+tg (2 pi))/ (1-tg (pi t)tg(2 pi))*(t+4)$
Visto che $tg 0 = 0$ e che $ tg k pi =0$ con k un numero intero allora ottengo: $lim(t-> 0) (0+0)/ (1-0)*(0+4)$ che tende a $-> 0$ E' corretto?
Poi mi sono imbattuto nei seguenti limiti che non riesco a risolvere; posso avere un aiuto per risolverli?
A) $ lim_(n->infty) (1-1/n)^n -> e^-1$
B) $ lim_(x->infty) (x/(x+1))^x -> e^-1$
C) $ lim_(x->infty) ((x-1)/(x+3))^(x+2) -> e^-4$
Sul libro c'è scritto:
Per trovare i limiti del tipo $lim_(x->a) [ \varphi(x)]^(\psi(x))$ dove $ lim_(x->a) \psi(x) -> infty$ e $ lim_(x->a) \varphi(x)->1$, si pone $\varphi(x)= 1 + a(x)$ dove $a(x)->0$ per $x->a$. Cioè, in parole semplici, cosa dovrei fare?
Grazie ancora.
Nessuno mi puó aiutare?
Ti do un piccolo hint per procedere: nel limite da te contrassegnato con la lettera A, sarebbe opportuno porre $-1/n=1/t$; in tal modo si ottiene che $lim_(n->oo)(1-1/n)^n=lim_(t->oo)(1+1/t)^-t=lim_(t->oo)((1+1/t)^t)^-1$, quest'ultimo facilmente risolvibile utilizzando il limite notevole $lim_(n->oo)(1+1/n)^n=e$. Allo stesso modo il limite B $lim_(x->oo)(x/(x+1))^x$ è assimilabile a $lim_(x->oo)((x+1-1)/(x+1))^x=lim_(x->oo)(1-1/(x+1))^x$ ...
"Delirium":
Ti do un piccolo hint per procedere: nel limite da te contrassegnato con la lettera A, sarebbe opportuno porre $-1/n=1/t$; in tal modo si ottiene che $lim_(n->oo)(1-1/n)^n=lim_(t->oo)(1+1/t)^-t=lim_(t->oo)((1+1/t)^t)^-1$, quest'ultimo facilmente risolvibile utilizzando il limite notevole $lim_(n->oo)(1+1/n)^n=e$. Allo stesso modo il limite B $lim_(x->oo)(x/(x+1))^x$ è assimilabile a $lim_(x->oo)((x+1-1)/(x+1))^x=lim_(x->oo)(1-1/(x+1))^x$ ...
Grazie per il consiglio, purtroppo in questi giorni sono un attimo indaffarato e appena ho un pó di tempo provo a mettere in pratica il tuo consiglio.
Ciao e grazie ancora.
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