Un esercizio carino con discussione
La somma delle misure degli spigoli di due cubi è s e la somma
dei loro volumi misura ks³. Determinare la misura dei due spigoli.
dei loro volumi misura ks³. Determinare la misura dei due spigoli.
Risposte
K intero?
No.
Qualcuno si vuole cimentare oppure posto la soluzione?
Qualcuno si vuole cimentare oppure posto la soluzione?
Quanta fretta... sarò una lumaca, ma dammi un po' di tempo per pensarci!
Chiaramente non è la banale soluzione del sistema
s1+s2=s/12
s1^3+s2^3=ks^3
vero?
Modificato da - pachito il 15/03/2004 22:28:22
Chiaramente non è la banale soluzione del sistema
s1+s2=s/12
s1^3+s2^3=ks^3
vero?
Modificato da - pachito il 15/03/2004 22:28:22
Certo che no! E un'altra cosa: non si intende la somma delle misure di tutti i 12 spigoli
del primo cubo con tutti i 12 spigoli del secondo, ma la somma della lunghezza dello spigolo del primo cubo con la lunghezza dello spigolo del secondo cubo. Questa somma è pari a s.
Modificato da - fireball il 16/03/2004 16:20:09
del primo cubo con tutti i 12 spigoli del secondo, ma la somma della lunghezza dello spigolo del primo cubo con la lunghezza dello spigolo del secondo cubo. Questa somma è pari a s.
Modificato da - fireball il 16/03/2004 16:20:09
Indicando con x e y (x > 0, y > 0) gli spigoli dei due cubi si ottiene il seguente sistema simmetrico:
x + y = s
xy = s^2(1 - k)/3
Risolvendolo si trovano due soluzioni per 1/4 <= k < 1.
x + y = s
xy = s^2(1 - k)/3
Risolvendolo si trovano due soluzioni per 1/4 <= k < 1.
Bravo MaMo!
Una cosa: perché lo hai chiamato "sistema simmetrico"?
Una cosa: perché lo hai chiamato "sistema simmetrico"?
Un sistema è simmetrico rispetto a due incognite quando tutte le equazioni che lo compongono sono simmetriche.
Una equazione si dice simmetrica rispetto a due incognite quando, scambiandole tra loro, l'equazione rimane immutata.
Un sistema simmetrico tipico è:
x + y = s
xy = p
Le soluzioni sono le radici dell'equazione di secondo grado:
z^2 - s*z + p = 0.
Una equazione si dice simmetrica rispetto a due incognite quando, scambiandole tra loro, l'equazione rimane immutata.
Un sistema simmetrico tipico è:
x + y = s
xy = p
Le soluzioni sono le radici dell'equazione di secondo grado:
z^2 - s*z + p = 0.
Io invece l'avevo risolto così (ci sono diversi modi):
{x+y=s
{x³+y³=ks³
Scomponendo la somma dei cubi:
{x+y=s
{(x+y)(x²-xy+y²)=ks³
Sostituendo:
s(x²-xy+y²)=ks³
{x²-xy+y²=ks²
{x+y=s => y=s-x
{0 < x < s ; 0 < y < s
La prima equazione rappresenta un fascio di ellissi ruotate, la seconda è una retta (ovviamente s non è un parametro ma un numero).
I punti limite sono, sostituendo gli estremi nell'equazione della retta: A(0,s) e B(s,0)
Imponendo il passaggio del fascio di ellissi per A e B, si trova k=1.
Imponendo la tangenza tra retta ed ellisse (impostando quindi DELTA=0) si trova k = 1/4.
Dopodiché facendo un grafico si vede che il problema ammette due soluzioni per 1/4 <= k < 1:
Ovviamente il procedimento poteva semplificarsi sostituendo s-x al posto della y nell'equazione del fascio di ellissi ed ottenendo così l'equazione di un fascio di parabole...
{x+y=s
{x³+y³=ks³
Scomponendo la somma dei cubi:
{x+y=s
{(x+y)(x²-xy+y²)=ks³
Sostituendo:
s(x²-xy+y²)=ks³
{x²-xy+y²=ks²
{x+y=s => y=s-x
{0 < x < s ; 0 < y < s
La prima equazione rappresenta un fascio di ellissi ruotate, la seconda è una retta (ovviamente s non è un parametro ma un numero).
I punti limite sono, sostituendo gli estremi nell'equazione della retta: A(0,s) e B(s,0)
Imponendo il passaggio del fascio di ellissi per A e B, si trova k=1.
Imponendo la tangenza tra retta ed ellisse (impostando quindi DELTA=0) si trova k = 1/4.
Dopodiché facendo un grafico si vede che il problema ammette due soluzioni per 1/4 <= k < 1:
Ovviamente il procedimento poteva semplificarsi sostituendo s-x al posto della y nell'equazione del fascio di ellissi ed ottenendo così l'equazione di un fascio di parabole...
Ho davvero un debole per Mamo.
Quesiti stimolanti, risposte intelligenti... mi fa sempre piacere leggere quello che scrive.
Grazie.
Quesiti stimolanti, risposte intelligenti... mi fa sempre piacere leggere quello che scrive.
Grazie.
Lo sappiamo tutti che MaMo non sbaglia mai 
!!
!!
Con un ultimo passaggio si puo' addirittura
ridurre il sistema di MaMo al primo grado.
Infatti quadrando la prima equazione e moltiplicando
per 4 la seconda si ha:
x^2+y^2+2xy=s^2
4xy=4s^2*(1-k)/3
e sottraendo:
(x-y)^2=s^2*(4k-1)/3, da cui supposto k>=1/4:
x+y=s
x-y=s*sqrt([4k-1]/3)
Ne segue:
x=s/2*(1+sqrt([4k-1]/3))
y=s/2*(1-sqrt([4k-1]/3))
Per la realta'di x ed y deve essere k>=1/4.
Per la positivita' di y deve essere:
sqrt([4k-1]/3)<1--->k<1.
Si ha UNA SOLUZIONE PER 1/4<=k<1
I due cubi diventano uguali se k=1/4.
(essendo il sistema simmetrico in realta'
i due cubi relativi alle due soluzioni da voi
trovate si scambiano solamente, senza portare
realmente a due soluzioni distinte).
karl.
Modificato da - karl il 16/03/2004 21:40:46
ridurre il sistema di MaMo al primo grado.
Infatti quadrando la prima equazione e moltiplicando
per 4 la seconda si ha:
x^2+y^2+2xy=s^2
4xy=4s^2*(1-k)/3
e sottraendo:
(x-y)^2=s^2*(4k-1)/3, da cui supposto k>=1/4:
x+y=s
x-y=s*sqrt([4k-1]/3)
Ne segue:
x=s/2*(1+sqrt([4k-1]/3))
y=s/2*(1-sqrt([4k-1]/3))
Per la realta'di x ed y deve essere k>=1/4.
Per la positivita' di y deve essere:
sqrt([4k-1]/3)<1--->k<1.
Si ha UNA SOLUZIONE PER 1/4<=k<1
I due cubi diventano uguali se k=1/4.
(essendo il sistema simmetrico in realta'
i due cubi relativi alle due soluzioni da voi
trovate si scambiano solamente, senza portare
realmente a due soluzioni distinte).
karl.
Modificato da - karl il 16/03/2004 21:40:46
Vi invito ad interpretare e a risolvere
geometricamente il sistema di Mamo.
Puo' essere un utile esercizio.
karl.
geometricamente il sistema di Mamo.
Puo' essere un utile esercizio.
karl.
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