Un dubbio sulla radice quadrata
Sera a tutti. Come mai $sqrt(x^2) = |x|$ ma nella risoluzione di equazioni di secondo grado prendiamo anche i valori negativi? Ad esempio se devo risolvere $x^2 +2x -1$ prendo come soluzioni $-1 + sqrt(2)$ e $-1 -sqrt(2)$ ma se devo semplificare un radicale devo fare $sqrt(4) = |2|$. Non potrei scrivere $sqrt(4) = +-2$ siccome entrambi i valori elevati al quadrato danno $4$?
Sicuramente sarà un dubbio scemo ma non l'ho mai capita a fondo 'sta cosa
Sicuramente sarà un dubbio scemo ma non l'ho mai capita a fondo 'sta cosa
Risposte
Sera a te, HowardRoark. La risposta veloce è che nella risoluzione di una equazione di secondo grado con Delta non negativo usiamo una formula in cui figura $\pm$ davanti alla radice quadrata. Per essere un po' più espliciti la formula è
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}} {2a}$
Nel caso in cui Delta è maggiore o uguale a 0, $\sqrt{\Delta}$ restituisce uno e un solo valore reale non negativo.
Sul fatto che non si usa $\sqrt{4}=\pm 2$ è una questione di definizioni.
Di fatto, la radice quadrata di un numero reale non negativo è un numero reale non negativo il cui quadrato coincide con il radicando. Stiamo scegliendo quindi di escludere i numeri negativi.
Possiamo riformulare la definizione di radice quadrata nel modo seguente?
La radice quadrata di un numero reale non negativo è un numero reale [strike]non negativo[/strike] il cui quadrato coincide con il radicando.
Certo che lo possiamo fare. Con questa definizione possiamo scrivere $\sqrt{4}=\pm2 $. Tuttavia, ci sono dei contro: se usassimo questa come definizione di radice quadrata, quest'ultima non sarebbe una funzione[nota]Se non conosci il concetto di funzione, ti basta sapere che si complica la teoria.[/nota] nel senso classico del termine e ciò complicherebbe la teoria.
Una curiosità per il futuro: la definizione di radice quadrata nei complessi assomiglia più alla seconda che ho scritto.
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}} {2a}$
Nel caso in cui Delta è maggiore o uguale a 0, $\sqrt{\Delta}$ restituisce uno e un solo valore reale non negativo.
Sul fatto che non si usa $\sqrt{4}=\pm 2$ è una questione di definizioni.
Di fatto, la radice quadrata di un numero reale non negativo è un numero reale non negativo il cui quadrato coincide con il radicando. Stiamo scegliendo quindi di escludere i numeri negativi.
Possiamo riformulare la definizione di radice quadrata nel modo seguente?
La radice quadrata di un numero reale non negativo è un numero reale [strike]non negativo[/strike] il cui quadrato coincide con il radicando.
Certo che lo possiamo fare. Con questa definizione possiamo scrivere $\sqrt{4}=\pm2 $. Tuttavia, ci sono dei contro: se usassimo questa come definizione di radice quadrata, quest'ultima non sarebbe una funzione[nota]Se non conosci il concetto di funzione, ti basta sapere che si complica la teoria.[/nota] nel senso classico del termine e ciò complicherebbe la teoria.
Una curiosità per il futuro: la definizione di radice quadrata nei complessi assomiglia più alla seconda che ho scritto.
"Mathita":
Sera a te, HowardRoark. La risposta veloce è che nella risoluzione di una equazione di secondo grado con Delta non negativo usiamo una formula in cui figura $\pm$ davanti alla radice quadrata. Per essere un po' più espliciti la formula è
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}} {2a}$
Nel caso in cui Delta è maggiore o uguale a 0, $\sqrt{\Delta}$ restituisce uno e un solo valore reale non negativo.
Sul fatto che non si usa $\sqrt{4}=\pm 2$ è una questione di definizioni.
Di fatto, la radice quadrata di un numero reale non negativo è un numero reale non negativo il cui quadrato coincide con il radicando. Stiamo scegliendo quindi di escludere i numeri negativi.
Possiamo riformulare la definizione di radice quadrata nel modo seguente?
La radice quadrata di un numero reale non negativo è un numero reale [strike]non negativo[/strike] il cui quadrato coincide con il radicando.
Certo che lo possiamo fare. Con questa definizione possiamo scrivere $\sqrt{4}=\pm2 $. Tuttavia, ci sono dei contro: se usassimo questa come definizione di radice quadrata, quest'ultima non sarebbe una funzione[nota]Se non conosci il concetto di funzione, ti basta sapere che si complica la teoria.[/nota] nel senso classico del termine e ciò complicherebbe la teoria.
Una curiosità per il futuro: la definizione di radice quadrata nei complessi assomiglia più alla seconda che ho scritto.
Chiaro, si usa prendere solo i valori positivi della radice quadrata perché altrimenti $y=sqrt(x)$ non sarebbe una funzione. Anche se in fondo basterebbe definire la radice quadrata come una funzione che va da $[0, +oo)$ a $[0, +oo)$ restringendo quindi l'insieme di arrivo ai reali positivi o nulli.
Quello che scrivi è corretto. Non a caso alcuni insegnanti distinguono la radice quadrata aritmetica[nota]Con radice quadrata aritmetica di un numero reale non negativo intendiamo quel numero reale non negativo il cui quadrato coincide con il radicando.[/nota] dalla radice quadrata algebrica[nota]Si chiama radice quadrata algebrica di un numero reale non negativo ciascun numero reale il cui quadrato è uguale radicando.[/nota]. Per quanto mi riguarda, tale distinzione è una inutile complicazione. Tu cosa ne pensi?
"Mathita":
Quello che scrivi è corretto. Non a caso alcuni insegnanti distinguono la radice quadrata aritmetica...dalla radice quadrata algebrica
È solo un residuo della prima metà del secolo scorso, quando si distinguevano funzioni univoche e funzioni plurivoche. L'unico libro che conosco con una spiegazione dettagliata del concetto è uno Zwirner degli anni '60. Altri libri la riportano più come una curiosità che altro.
"Mathita":
Quello che scrivi è corretto. Non a caso alcuni insegnanti distinguono la radice quadrata aritmetica[nota]Con radice quadrata aritmetica di un numero reale non negativo intendiamo quel numero reale non negativo il cui quadrato coincide con il radicando.[/nota] dalla radice quadrata algebrica[nota]Si chiama radice quadrata algebrica di un numero reale non negativo ciascun numero reale il cui quadrato è uguale radicando.[/nota]. Per quanto mi riguarda, tale distinzione è una inutile complicazione. Tu cosa ne pensi?
Invece io penso che adotterò la stessa distinzione. Più che altro questa cosa mi destava sempre un po' di perplessità, perché anch'io sapevo che la radice quadrata $sqrt(a)$ è quel numero reale positivo o nullo che, elevato al quadrato, dà $a$, però non riuscivo a ricollegarla con le equazioni di secondo grado. Se definiamo la radice quadrata di un numero reale un numero positivo è chiaro che, andando a semplificare il radicale, dobbiamo prendere il numero col modulo; però è altrettanto chiaro che nella risoluzione delle equazioni di secondo grado prendiamo gli zeri del polinomio sia positivi che negativi.
Adesso almeno riesco a capire che nelle equazioni di secondo grado si prendono le soluzioni algebriche, mentre in altri contesti si prediligono quelle aritmetiche.
Secondo me, invece, stai mescolando cosa diverse e questo porta a confusione.
Una cosa è il simbolo della radice quadrata, un'altra cosa sono le soluzioni di un'equazione di secondo grado e non c'è contraddizione tra le due.
Il simbolo[size=150] $sqrt()$[/size] restituisce sempre un solo valore non negativo (quando esiste) mentre le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono sempre queste $x_1=(-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a), x_2=(-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)$ (quando esistono).
Cordialmente, Alex
Una cosa è il simbolo della radice quadrata, un'altra cosa sono le soluzioni di un'equazione di secondo grado e non c'è contraddizione tra le due.
Il simbolo[size=150] $sqrt()$[/size] restituisce sempre un solo valore non negativo (quando esiste) mentre le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono sempre queste $x_1=(-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a), x_2=(-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)$ (quando esistono).
Cordialmente, Alex
"@melia":
È solo un residuo della prima metà del secolo scorso, quando si distinguevano funzioni univoche e funzioni plurivoche. L'unico libro che conosco con una spiegazione dettagliata del concetto è uno Zwirner degli anni '60. Altri libri la riportano più come una curiosità che altro.
Vero @malia, nei libri di scuole superiori si predilige la definizione "standard". Va segnalato però che molti libri delle scuole medie continuano a fare la distinzione, creando più misconcezioni che altro.
@howardroark
Tu puoi scegliere la definizione che preferisci, però devi tenere in conto che dovrai essere sempre coerente con la scelta che hai fatto. Inoltre, siccome quella che adotti non è la definizione comunemente accettata, dovrai ogni volta spiegare cosa intendi con radice aritmetica e radice algebrica. Te lo garantisco, non conviene.
Il mio intento era quello di convincerti a passare al lato oscuro della for-ehm, volevo dire, a usare la definizione "standard", senza dirti che "è così, e basta!".
Io penso che il discorso si possa semplificare in questo modo:
La radice quadrata di $4$ cioè il risultato di queta operazione $sqrt(4)$ è solamente $+2$ mentre le soluzioni dell'equazione di secondo grado $x^2=4$ sono due e cioè $x_1=+2$ e $x_2=-2$
Cordialmente, Alex
La radice quadrata di $4$ cioè il risultato di queta operazione $sqrt(4)$ è solamente $+2$ mentre le soluzioni dell'equazione di secondo grado $x^2=4$ sono due e cioè $x_1=+2$ e $x_2=-2$
Cordialmente, Alex
Anche se altrove ho detto che non saprei cosa aggiungere, non mi dispiace aggiungere una considerazione, dopotutto.
Se vogliamo rimanere alla matematica di tutti i giorni, è chiaro che una volta che un simbolo viene definito non ci possono esse più dubbi(*).
Ma attenzione che la matematica sociale vive di convenzioni condivise. Comprese le definizioni. Quindi bisogna stare attenti che tutti i partecipanti al consesso abbiano nella zucca la stessa definizione. Ragione per cui è sempre rischioso usare definizioni un po' troppo "personali", anche perché è noioso, inutilmente faticoso, dover girare con le tavole delle definizioni e scambiarsele tra conversanti.
[size=85](*) a meno che la definizione non sia davvero maldestra, il che non ci interessa in questa sede, pur se credo che siamo in tanti ad essere incappati qualche volta in definizioni maldestre. Di certo a me capitò (in fisica, però) con la definizione di massa su un libro del liceo[/size]
Se vogliamo rimanere alla matematica di tutti i giorni, è chiaro che una volta che un simbolo viene definito non ci possono esse più dubbi(*).
Ma attenzione che la matematica sociale vive di convenzioni condivise. Comprese le definizioni. Quindi bisogna stare attenti che tutti i partecipanti al consesso abbiano nella zucca la stessa definizione. Ragione per cui è sempre rischioso usare definizioni un po' troppo "personali", anche perché è noioso, inutilmente faticoso, dover girare con le tavole delle definizioni e scambiarsele tra conversanti.
[size=85](*) a meno che la definizione non sia davvero maldestra, il che non ci interessa in questa sede, pur se credo che siamo in tanti ad essere incappati qualche volta in definizioni maldestre. Di certo a me capitò (in fisica, però) con la definizione di massa su un libro del liceo[/size]
Ma io non ho alcun interesse a discostarmi dalle definizioni comunemente accettate in matematica, figuratevi se mi complico ancora di più la vita. 
Semplicemente mi sembrava strano che nei passaggi di verifica di un limite il mio libro semplificava $sqrt(x^2) = |x|$ ma se considero $x^2 = 4, x=+-2$. Nel primo caso prendo solo i valori positivi, nel secondo caso prendo anche i valori negativi.
Se definiamo $sqrt(x)$ quel numero positivo o nullo che, elevato al quadrato, dà $x$, allora nelle equazioni di secondo grado non dovremmo prendere solo le soluzioni positive o nulle?
Adesso me la cavo dicendo che nelle equazioni di secondo grado cerchiamo le radici algebriche, mentre in altri contesti quella aritmetica. Mi sembra che il discorso sia più chiaro così.
Semplicemente mi sembrava strano che nei passaggi di verifica di un limite il mio libro semplificava $sqrt(x^2) = |x|$ ma se considero $x^2 = 4, x=+-2$. Nel primo caso prendo solo i valori positivi, nel secondo caso prendo anche i valori negativi.
Se definiamo $sqrt(x)$ quel numero positivo o nullo che, elevato al quadrato, dà $x$, allora nelle equazioni di secondo grado non dovremmo prendere solo le soluzioni positive o nulle?
Adesso me la cavo dicendo che nelle equazioni di secondo grado cerchiamo le radici algebriche, mentre in altri contesti quella aritmetica. Mi sembra che il discorso sia più chiaro così.
Ti faccio notare che qui 
"HowardRoark":si applica esattamente quanto ho scritto
$sqrt(x^2) = |x|$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo