Un cubo al sole
Mi sono imbattuto in questo problema e non riesco a venirne a capo.
Un cubo di lato unitario è posto sopra un piano orizzontale, in modo che una delle sue diagonali maggiori sia perpendicolare ad esso. Il sole (che si suppone a distanza infinita) è in posizione tale da illuminare tutte e tre le facce del cubo rivolte verso l'alto. Si dimostri che l'area dell'ombra proiettata dal cubo sul piano non dipende dalla posizione del sole e calcolarne il valore.
Un cubo di lato unitario è posto sopra un piano orizzontale, in modo che una delle sue diagonali maggiori sia perpendicolare ad esso. Il sole (che si suppone a distanza infinita) è in posizione tale da illuminare tutte e tre le facce del cubo rivolte verso l'alto. Si dimostri che l'area dell'ombra proiettata dal cubo sul piano non dipende dalla posizione del sole e calcolarne il valore.
Risposte
Servono delle nozioni di geometria vettoriale e qualcosa di geometria proiettiva (poca roba in verità) altrimenti la vedo dura ad arrivarci in fondo. Siccome penso che tu abbia ancora visto poco di questa roba, io ti metto la soluzione, così te la guardi, magari la capisci anche.
Intanto dobbiamo fissare un sistema di riferimento di assi, e lo mettiamo comodo secondo le facce del cubo rivolte al sole. Per cui le 3 facce avranno i seguenti versori (vettori di lunghezza 1) normali $\vec i$,$\vec j$,$\vec k$.
Ora dobbiamo definire il versore normale al terreno, che secondo la descrizione dell'esercizio è
$\frac{\vec i+\vec j+\vec k}{\sqrt{3}}$.
Anche i raggi del sole posso essere rappresentati secondo un versore generico $\frac{a \vec i+b \vec j+c \vec k+}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$, dove $a,\ b,\ c$ sono numeri reali che danno la posizione del sole.
A questo punto troviamo l'area della proiezione delle facce del cubo su un piano normale ai raggi del sole. Per fare ciò sommiamo i 3 prodotti scalari delle singole facce col vettore "raggi solari".
Ad esempio la proiezione di una delle facce è $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
Sommando le tre facce si ottiene:
$\frac{a +b+c }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
Adesso bisogna trovare l'area dell'ombra che produce una generica area su un piano perpendicolare ai raggi solari. Per fare ciò dobbiamo dividere l'area perp. ai raggi per il prodotto scalare tra i due vettori raggi solari e terreno (la sua normale).
Si ottiene:
$\frac{a+b+c}{\sqrt{3}\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
L'area dell'ombra la si ottiene dividendo l'area proiettata dalle 3 facce per il prodotto scalare appena calcolato.
Cioè (con un formulone gigante):
$\frac{\frac{a +b+c }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}{\frac{a+b+c}{\sqrt{3}\sqrt{a^2+b^2+c^2}}} = \sqrt 3$
Morale della storia:
l'area dell'ombra del cubo è sempre $\sqrt3$, non importa la direzione del sole, tutti gli $a,b,c$ spariscono, si elidono. L'ombra si allunga un po' si deforma, ma la sua area è sempre la stessa.
Se vuoi divertirti un po' potresti capire (in base alle mie formule) perchè nel testo c'è scritto "è in posizione tale da illuminare tutte e tre le facce del cubo rivolte verso l'alto"
Perchè questa restrizione ? Volendo si capisce anche dalle formule.
Come vedi, non è proprio semplicissimo dare la dimostrazione...
Intanto dobbiamo fissare un sistema di riferimento di assi, e lo mettiamo comodo secondo le facce del cubo rivolte al sole. Per cui le 3 facce avranno i seguenti versori (vettori di lunghezza 1) normali $\vec i$,$\vec j$,$\vec k$.
Ora dobbiamo definire il versore normale al terreno, che secondo la descrizione dell'esercizio è
$\frac{\vec i+\vec j+\vec k}{\sqrt{3}}$.
Anche i raggi del sole posso essere rappresentati secondo un versore generico $\frac{a \vec i+b \vec j+c \vec k+}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$, dove $a,\ b,\ c$ sono numeri reali che danno la posizione del sole.
A questo punto troviamo l'area della proiezione delle facce del cubo su un piano normale ai raggi del sole. Per fare ciò sommiamo i 3 prodotti scalari delle singole facce col vettore "raggi solari".
Ad esempio la proiezione di una delle facce è $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
Sommando le tre facce si ottiene:
$\frac{a +b+c }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
Adesso bisogna trovare l'area dell'ombra che produce una generica area su un piano perpendicolare ai raggi solari. Per fare ciò dobbiamo dividere l'area perp. ai raggi per il prodotto scalare tra i due vettori raggi solari e terreno (la sua normale).
Si ottiene:
$\frac{a+b+c}{\sqrt{3}\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
L'area dell'ombra la si ottiene dividendo l'area proiettata dalle 3 facce per il prodotto scalare appena calcolato.
Cioè (con un formulone gigante):
$\frac{\frac{a +b+c }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}{\frac{a+b+c}{\sqrt{3}\sqrt{a^2+b^2+c^2}}} = \sqrt 3$
Morale della storia:
l'area dell'ombra del cubo è sempre $\sqrt3$, non importa la direzione del sole, tutti gli $a,b,c$ spariscono, si elidono. L'ombra si allunga un po' si deforma, ma la sua area è sempre la stessa.
Se vuoi divertirti un po' potresti capire (in base alle mie formule) perchè nel testo c'è scritto "è in posizione tale da illuminare tutte e tre le facce del cubo rivolte verso l'alto"
Perchè questa restrizione ? Volendo si capisce anche dalle formule.
Come vedi, non è proprio semplicissimo dare la dimostrazione...
Grazie, ora medito, ma intanto, conosci una buona fonte online per indagare l'argomento?
Ad esempio qui: http://web.ticino.com/lucarovelli/appun ... _terza.pdf
Mi sembra fatto bene e senza troppi tecnicismi.
Mi sembra fatto bene e senza troppi tecnicismi.
Un modo "elementare" per provare la tesi è fare uso del seguente lemma:
RL02092015
dato un trapezio T e un punto P nel suo piano piano, siano T1 e T2 i due triangoli formati da P e dai lati obliqui del trapezio. Traslando separatamente nella direzione dei lati paralleli le due basi e il punto P si ottengo due triangoli T1' e T2' corrispondenti a T1 e T2 tali che T1'+T2' = T1+T2.
PS
Dettaglio tecnicistico...
Per far valere in generale la tesi si deve intendere la somma delle aree in senso algebrico. In pratica le aree si sotraggono anziché sommarsi.
RL02092015
dato un trapezio T e un punto P nel suo piano piano, siano T1 e T2 i due triangoli formati da P e dai lati obliqui del trapezio. Traslando separatamente nella direzione dei lati paralleli le due basi e il punto P si ottengo due triangoli T1' e T2' corrispondenti a T1 e T2 tali che T1'+T2' = T1+T2.
PS
Dettaglio tecnicistico...
Per far valere in generale la tesi si deve intendere la somma delle aree in senso algebrico. In pratica le aree si sotraggono anziché sommarsi.
"OriginalBBB":
Un cubo di lato unitario è posto sopra un piano orizzontale, in modo che una delle sue diagonali maggiori sia perpendicolare ad esso. Il sole (che si suppone a distanza infinita) è in posizione tale da illuminare tutte e tre le facce del cubo rivolte verso l'alto. Si dimostri che l'area dell'ombra proiettata dal cubo sul piano non dipende dalla posizione del sole e calcolarne il valore.
Col sole allo zenit l'ombra è un esagono regolare, diciamolo di vertici $ABCDEF$.
Le diagonali $BD, DF$ e $FB$ sono le proiezioni delle diagonali orizzontali delle tre facce illuminate dal sole, e dunque sono lunghe $sqrt(2)$. (*)
Allora il lato dell'esagono-ombra è lungo $sqrt(2/3)$ e di conseguenza l'area è $sqrt(3)$.
(*) Nota. Nel seguito si tenga ben presente che queste tre diagonali orizzontali sono i lati di un triangolo equilatero orizzontale la cui ombra sul suolo orizzontale è uguale a lui indipendentemente dalla direzione dei raggi solari.
Per dimostrare che l'area dell'ombra non cambia al variare di direzione dei raggi solari (purché il sole sia abbastanza alto da illuminare solo le 3 facce più alte del cubo) basta osservare le due cose seguenti:
a) Quelle tre facce hanno 6 vertici periferici (proiettati poi nei 6 vertici dell'ombra) ripartibili in due terne (di vertici alterni) che sono rispettivamente i vertici di due triangoli equilateri uguali e orizzontali: tre vertici sono ad una quota che è un terzo della diagonale verticale, e tre vertici a quota doppia (e questi sono gli estremi delle tre diagonali orizzontali di cui nella nota di sopra). Allora queste due terne di vertici si proiettano ancora in due triangoli equilateri uguali. Ma siccome i due triangoli del cubo sono uno a quota metà dell'altro, lo spostamento della proiezione di quello inferiore dalla posizione che ha col sole allo zenit è metà dello spostamento della proiezione dell'altro.
b) L'ombra è un esagono (irregolare tranne che col sole allo zenit) con tre coppie di lati opposti uguali e paralleli. Siccome tre vertici scelti alternamente sono vertici di un triangolo equilatero, l'area dell'esagono è doppia dell'area di questo triangolo equilatero. E questo indipendentemente dalla direzione dei raggi del sole (purchè il sole sia abbastanza alto). Allora, siccome è costante quel triangolo eqiulatero (solo si sposta a seconda di dove sta il sole), è costante anche l'area dell'esagono-ombra (anche se si deforma al variare della direzione dei raggi solari).
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Mi rendo conto che, esposta così, la spiegazione è di "difficile lettura" (come diceva altrove orsoulx).
Per una spiegazione chiara di questo modo di dimostrare quanto è richiesto ho composto una immagine che contiene opportuni disegnini e relativo testo esplicativo.
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