Un altro limite strano
Esiste un procedimento diverso dal teorema di De l'Hopital per concludere che questo limite tende a meno infinito?
Lo riesco a risolvere reiterando DH, ma il mio libro prevede che io a quel punto non conosca ancora de l'hopital quindi ci deve essere un altro modo.
Grazie mille
Aggiunto 25 minuti più tardi:
Forse ci sono arrivato, ditemi se questo passaggio è legittimo:
Passo ai logaritmi e ottengo:
poichè la funzione potenza è un infinito di grado superiore rispetto alla funzione logaritmo.
Giusto? Non sono sicuro perchè di solito quando passo ai logaritmi lo faccio nelle equazioni, ma dovrebbe essere...una trasformazione monotona e quindi equivalente?
[math]
\lim_{x \to -\infty} {e^{-x} \over x^{15}
[/math]
\lim_{x \to -\infty} {e^{-x} \over x^{15}
[/math]
Lo riesco a risolvere reiterando DH, ma il mio libro prevede che io a quel punto non conosca ancora de l'hopital quindi ci deve essere un altro modo.
Grazie mille
Aggiunto 25 minuti più tardi:
Forse ci sono arrivato, ditemi se questo passaggio è legittimo:
Passo ai logaritmi e ottengo:
[math]
\lim_{x \to -\infty} \log{ e^{-x} \over x^{15}}
[/math]
\lim_{x \to -\infty} \log{ e^{-x} \over x^{15}}
[/math]
[math]\lim_{x \to -\infty} -x\lg e - 15logx= -\infty[/math]
poichè la funzione potenza è un infinito di grado superiore rispetto alla funzione logaritmo.
Giusto? Non sono sicuro perchè di solito quando passo ai logaritmi lo faccio nelle equazioni, ma dovrebbe essere...una trasformazione monotona e quindi equivalente?
Risposte
Io non credo in verita' che passare dal logaritmo sia una buona idea
Io ragionerei sull'ordine di infiniti...
Sapendo che e^x cresce piu' in fretta di una polinomiale, raccogli un meno e ottieni
da qui avrai che
E' scritto in modo poco fine, ma e' per farti capire
quindi siccome e^x ha un ordine di infinito maggiore, la frazione dara' + infinito
E quel meno davanti dara' come risultato finale, - infinito
Io ragionerei sull'ordine di infiniti...
Sapendo che e^x cresce piu' in fretta di una polinomiale, raccogli un meno e ottieni
[math] \lim_{x \to - \infty} \ - \ \frac{e^{-x}}{-x^{15}} [/math]
da qui avrai che
[math] \lim_{x \to - \infty} \ - \ \frac{e^{+ \infty}}{\( + \infty ){15}} [/math]
E' scritto in modo poco fine, ma e' per farti capire
quindi siccome e^x ha un ordine di infinito maggiore, la frazione dara' + infinito
E quel meno davanti dara' come risultato finale, - infinito
Scusa, ma se ragiono solo sugli ordini di infinito non è altrettanto legittimo il risultato +infinito?
Potrei fare lo stesso ragionamento senza raccogliere il meno, e otterrei un risultato diverso..?
I teoremi mi pare che dicano che tu possa solo eliminare gli ordini di infinito inferiori (per le funzioni infinite) nelle somme, le frazioni non consentono questa semplificazione a meno di non riuscire a manipolare con raccoglimenti fino ad eliminare le forme di indecisione.
In generale il passaggio al logaritmo come sopra è legittimo, oppure è proprio sbagliato?
Potrei fare lo stesso ragionamento senza raccogliere il meno, e otterrei un risultato diverso..?
I teoremi mi pare che dicano che tu possa solo eliminare gli ordini di infinito inferiori (per le funzioni infinite) nelle somme, le frazioni non consentono questa semplificazione a meno di non riuscire a manipolare con raccoglimenti fino ad eliminare le forme di indecisione.
In generale il passaggio al logaritmo come sopra è legittimo, oppure è proprio sbagliato?
se non raccogli il segno - ottieni una situazione di
e il confronto lo puoi fare a + infinito (entrambi) o a - infinito (entrambi)
Il passaggio al logaritmo... non so dirti se e' corretto o no sinceramente.
[math] \frac{+ \infty}{- \infty} [/math]
e il confronto lo puoi fare a + infinito (entrambi) o a - infinito (entrambi)
Il passaggio al logaritmo... non so dirti se e' corretto o no sinceramente.
Eh appunto, se raccolgo il meno ottengo una situazione di
e se non lo raccolgo
quindi direi che l'indeterminazione non scompare.
Ok grazie comunque (anche per tutte le altre volte, se ottengo una risposta definitiva te la scrivo)
[math]-\infty \over {+\infty} [/math]
e se non lo raccolgo
[math]+\infty \over {-\infty} [/math]
quindi direi che l'indeterminazione non scompare.
Ok grazie comunque (anche per tutte le altre volte, se ottengo una risposta definitiva te la scrivo)
Non e' vero quello che dici
perche' raccogli il meno SOLO al denominatore
al numeratore avrai
mentre al denominatore, dopo aver raccolto un - , avrai
e quindi avrai + infinito / + infinito = + infinito perche' il numeratore ha grado di infinito maggiore :)
Aggiunto 1 minuto più tardi:
poi il segno - che hai raccolto SOLO al denominatore, cambiera' il segno al + infinito rendendolo - infinito
perche' raccogli il meno SOLO al denominatore
al numeratore avrai
[math] e^{-x} [/math]
da cui, siccome x--> - infinito, avrai [math] e^{+ \infty} = + \infty [/math]
mentre al denominatore, dopo aver raccolto un - , avrai
[math] (-x)^{15} = (- - \infty)^{15} = (+ \infty)^{15} = + \infty [/math]
e quindi avrai + infinito / + infinito = + infinito perche' il numeratore ha grado di infinito maggiore :)
Aggiunto 1 minuto più tardi:
poi il segno - che hai raccolto SOLO al denominatore, cambiera' il segno al + infinito rendendolo - infinito
Come lo risolvi questo limite?
è una forma indeterminata
[math]
\lim_{x\to\infty} \frac{x^3+x^2+1}{x+1}
[/math]
\lim_{x\to\infty} \frac{x^3+x^2+1}{x+1}
[/math]
è una forma indeterminata
[math]\frac{\infty}{\infty}[/math]
. Il limite risulta [math]\infty[/math]
perchè il numeratore è un infinito "più grande" rispetto al denominatore. Lo stesso ragionamento lo fai con il limite da te riportato.
Ha perfettamente senso. L'unico dubbio è se si potesse ignorare l'andamento del denominatore, me è l'ovvia applicazione a ritroso della definizione di infinito di grado superiore, il loro rapporto è infinito per definizione se sappiamo che una è di grado superiore rispetto all'altra. Bit avevo capito come funzionava il raccoglimento (e infatti il - raccolto al denominatore per +infinito ti da meno infinito). Volendo lo si potrebbe raccogliere anche dopo...insomma grazie, sempre ottimi^^, non so se vi paghino, ma complimenti
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