Uguaglianza, coincidenza?

[AlessiaDepp]

Ciao a tutti!
Esaminando i numeri quadrati mi sono resa conto di questa strana uguaglianza $x^2+x=(x+1)^2 - (x+1)$ con $x$ intero positivo.
Perchè? C'è una regola sotto?

[Zero87]

"AlessiaDepp":Ciao a tutti!
Esaminando i numeri quadrati mi sono resa conto di questa strana uguaglianza $x^2+x=(x+1)^2 - (x+1)$ con $x$ intero positivo.
Perchè? C'è una regola sotto?

Oltre al fatto che una uguaglianza la si dimostra sviluppandola - come affermi tu tra l'altro nel tuo post - ma comunque puoi trovare vari metodi più o meno cervellotici per dimostrarla.

$x^2-1= x^2-1+2x-2x+1-1= (x^2+2x+1)-2x-2=(x+1)^2-2x-2=(x+1)^2-2(x+1)$
aggiungendo un $x+1$ ad ambo i membri otteniamo l'uguaglianza cercata
$x^2-1+x+1=(x+1)^2-(x+1)$
cioè
$x^2+x=(x+1)^2-(x+1)$.
Avevo sbagliato un segnaccio brutto, ma brutto brutto brutto (cit. dal sig. Rezzonico!), ma ho corretto grazie al post di Champion che ringrazio per la segnalazione.

Altrimenti considera quest'altro ragionamento.
$x^2+2x+1=(x+1)^2$
che è una delle cose che imparano fin dalle medie.
Se sottraggo $x+1$ ad entrambi i membri ottengo l'uguaglianza che cerchi.

[AlessiaDepp]

Ti ho fatto scrivere un bel pò, scusa. Grazie per il tuo aiuto: ottime le tue dimostrazioni, specialmente la seconda!

Ciao.

[Sk_Anonymous]

[ot]Scusate, non ho resistito [/ot]

[AlessiaDepp]

Ciao Delirium, sono contenta del tuo intervento. Ho piacere perchè se vedi che scrivo boiate, se ti va, puoi aiutarmi... ci conto.

[Sk_Anonymous]

Forse, in altre vite, già ti aiutai.

[AlessiaDepp]

Forse, allora, dovrei dirti grazie.
Non credo alla metempsicosi. Se mi hai aiutato in altre vite, non vedo perché non devi continuarlo a farlo,
Se non mi aiutasti, hai l’occasione di rimediare (scherzo).

Ciao.

[CaMpIoN]

"Zero87":...
$x^2-1= x^2-1+2x-2x+1-1= (x+1)^2-2x-2=(x+1)^2-2(x-1)$
sottraendo un "x-1" ad ambo i membri
$x^2-1-x+1=(x+1)^2-(x-1)$
ovvero
$x^2-x=(x+1)^2-(x-1)$
...

Forse mi sbaglio, ma vedo due errori:
1) Tra $-2x-2$ raccogliendo $-2$ si dovrebbe ottenere $-2(x+1)$ e non $-2(x-1)$.
2) Sottraendo $x-1$ al secondo membro dovresti ottenere un $-3(x-1)$ invece che $-(x-1)$
Correttamente dovrebbe essere
\(\displaystyle x^2-1=(x+1)^2-2(x+1) \)
\(\displaystyle x^2-1+x+1=(x+1)^2-2(x+1)+x+1=(x+1)^2-(x+1) \)
\(\displaystyle x^2+x=(x+1)^2-(x+1) \)
Sicuramente è distrazione
Comunque vale per ogni $x$ non solo per $x$ interi positivi.

[Zero87]

"CaMpIoN":Forse mi sbaglio, ma vedo due errori:[...]
Sicuramente è distrazione
Comunque vale per ogni $x$ non solo per $x$ interi positivi.

Non sbagli affatto, anzi, ho corretto il mio intervento, grazie!

Confermo per quanto riguarda la distrazione.
Giusto che vale per ogni $x$ ma se non ricordo male AlessiaDepp parlava di interi positivi, per questo non mi sono allargato.