Trucchi per risolvere prima le equazioni
$16t^2-65t-81=0$
Nella formula consueta viene una radice pari a 9409..mi pare che se tutti i coefficenti e il termine noto siano divisibili per uno stesso numero si possa dividere il tutto però non conosco altri metodi .Qui non ho un divisore comune quindi come potrei fare se stessi ad un esame senza calcolatrice (non la fanno usare) ?
Nella formula consueta viene una radice pari a 9409..mi pare che se tutti i coefficenti e il termine noto siano divisibili per uno stesso numero si possa dividere il tutto però non conosco altri metodi .Qui non ho un divisore comune quindi come potrei fare se stessi ad un esame senza calcolatrice (non la fanno usare) ?
Risposte
Io so che si possono cercare due numeri che abbiano come somma $-65$ e come prodotto $16(-81)$ per poi procedere con il raccoglimento prima parziale e poi totale, ma con numeri mi sembra scomodo perchè ci sono troppe possibilità...
Ti dico un trucchetto: se la somma dei coefficienti di posto pari è uguale a quella di posto dispari il polinomio si annulla per $-1$. In questo caso abbiamo proprio $16 - 81 = -65$ quindi sicuramente il polinomio è divisibile per $(t+1)$. Per trovare l'altro fattore è sufficiente procedere con Ruffini.
In ogni caso questo e altri trucchetti non sempre funzionano; a volte è necessario fare i calcoli!
In ogni caso questo e altri trucchetti non sempre funzionano; a volte è necessario fare i calcoli!
Ah mi sono accorto che il trucchetto di prima era parziale. Riporto la versione completa:
Sia dato un trinomio uguagliato a zero$$ax^2+bx+c=0$$ tale che la somma dei coefficienti di posto dispari sia uguale alla somma dei coefficienti di posto pari.
Le soluzioni dell'equazione sono $$x=-1 \vee x = -\frac{c}{a}$$
Quindi nel caso di $16t^2 - 65t - 81 = 0$ si ottiene $t = -1 \vee t = \frac{81}{16}$.
Sia dato un trinomio uguagliato a zero$$ax^2+bx+c=0$$ tale che la somma dei coefficienti di posto dispari sia uguale alla somma dei coefficienti di posto pari.
Le soluzioni dell'equazione sono $$x=-1 \vee x = -\frac{c}{a}$$
Quindi nel caso di $16t^2 - 65t - 81 = 0$ si ottiene $t = -1 \vee t = \frac{81}{16}$.
Ma questo è magnifico! 
Per completezza e per non far sembrare che io abbia inventato o sognato certe regole propongo anche una dimostrazione.
Sia$$ax^{2} + bx + c = 0, \qquad b = a + c$$Come noto le soluzioni sono nella forma $$x_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$Ora sostituisco $b = a + c$ e ricavo
\begin{eqnarray*}
x_{1, 2} &=& \frac{-(a+c) \pm \sqrt{(a+c)^{2} - 4ac}}{2a} = \frac{-(a+c) \pm \sqrt{a^2 + c^2 + 2ac - 4ac}}{2a} \\\\ &=& \frac{-(a+c) \pm \sqrt{a^2 + c^2 - 2ac}}{2a} = \frac{-(a+c) \pm \sqrt{(a-c)^{2}}}{2a} \\\\ &=& \frac{-(a+c) \pm (a-c)}{2a}
\end{eqnarray*}Non ho introdotto il valore assoluto grazie alla presenza del segno $\pm$.
A questo punto considerando il segno $+$ otteniamo la soluzione $$x = -\frac{c}{a}$$ mentre considerando il segno $-$ otteniamo $$x = -1$$
\( \Box\)
Sia$$ax^{2} + bx + c = 0, \qquad b = a + c$$Come noto le soluzioni sono nella forma $$x_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$Ora sostituisco $b = a + c$ e ricavo
\begin{eqnarray*}
x_{1, 2} &=& \frac{-(a+c) \pm \sqrt{(a+c)^{2} - 4ac}}{2a} = \frac{-(a+c) \pm \sqrt{a^2 + c^2 + 2ac - 4ac}}{2a} \\\\ &=& \frac{-(a+c) \pm \sqrt{a^2 + c^2 - 2ac}}{2a} = \frac{-(a+c) \pm \sqrt{(a-c)^{2}}}{2a} \\\\ &=& \frac{-(a+c) \pm (a-c)}{2a}
\end{eqnarray*}Non ho introdotto il valore assoluto grazie alla presenza del segno $\pm$.
A questo punto considerando il segno $+$ otteniamo la soluzione $$x = -\frac{c}{a}$$ mentre considerando il segno $-$ otteniamo $$x = -1$$
\( \Box\)
Immaginavo che ci fosse una dimostrazione... Ma queste cose dove si imparano?
"marcosocio":
Immaginavo che ci fosse una dimostrazione... Ma queste cose dove si imparano?
Ho avuto la fortuna di avere un'insegnante fantastica al liceo che mi ha insegnato alcune di queste scorciatoie. Per quanto riguarda la dimostrazione non la conoscevo ma ci ho ragionato un attimo e l'ho scritta.
mmaginavo che ci fosse una dimostrazione... Ma queste cose dove si imparano?
Da minomic , no ?
Se avete altro da postare fate pure
"Umbreon93":mmaginavo che ci fosse una dimostrazione... Ma queste cose dove si imparano?
Da minomic , no ?
Se avete altro da postare fate pure
Il tempo di scriverlo bene in LaTex e posto un altro risultato utilissimo.
Propongo un altro risultato. Dato un trinomio tale che la somma dei suoi coefficienti sia $0$ le soluzioni dell'equazione associata sono $x = 1 \vee x = \frac{c}{a}$
Sia$$ax^{2} + bx + c = 0, \qquad a + b + c = 0 \Rightarrow b = -(a + c)$$Come noto le soluzioni sono nella forma $$x_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$Ora sostituisco $b = -(a + c)$ e ricavo
\begin{eqnarray*}
x_{1, 2} &=& \frac{(a+c) \pm \sqrt{[-(a+c)]^{2} - 4ac}}{2a} = \frac{(a+c) \pm \sqrt{a^2 + c^2 + 2ac - 4ac}}{2a} \\\\ &=& \frac{(a+c) \pm \sqrt{a^2 + c^2 - 2ac}}{2a} = \frac{(a+c) \pm \sqrt{(a-c)^{2}}}{2a} \\\\ &=& \frac{(a+c) \pm (a-c)}{2a}
\end{eqnarray*}
A questo punto considerando il segno $+$ otteniamo la soluzione $$x = 1$$ mentre considerando il segno $-$ otteniamo $$x = \frac{c}{a}$$
\(\Box\)
Vediamo ora questo risultato all'opera: sia data $$x^2+124x-125 = 0$$Dopo aver notato che la somma dei coefficienti è zero possiamo concludere $$x = 1 \vee x = -125$$
Sia$$ax^{2} + bx + c = 0, \qquad a + b + c = 0 \Rightarrow b = -(a + c)$$Come noto le soluzioni sono nella forma $$x_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$Ora sostituisco $b = -(a + c)$ e ricavo
\begin{eqnarray*}
x_{1, 2} &=& \frac{(a+c) \pm \sqrt{[-(a+c)]^{2} - 4ac}}{2a} = \frac{(a+c) \pm \sqrt{a^2 + c^2 + 2ac - 4ac}}{2a} \\\\ &=& \frac{(a+c) \pm \sqrt{a^2 + c^2 - 2ac}}{2a} = \frac{(a+c) \pm \sqrt{(a-c)^{2}}}{2a} \\\\ &=& \frac{(a+c) \pm (a-c)}{2a}
\end{eqnarray*}
A questo punto considerando il segno $+$ otteniamo la soluzione $$x = 1$$ mentre considerando il segno $-$ otteniamo $$x = \frac{c}{a}$$
\(\Box\)
Vediamo ora questo risultato all'opera: sia data $$x^2+124x-125 = 0$$Dopo aver notato che la somma dei coefficienti è zero possiamo concludere $$x = 1 \vee x = -125$$
"minomic":
Ah mi sono accorto che il trucchetto di prima era parziale. Riporto la versione completa:
Sia dato un trinomio uguagliato a zero$$ax^2+bx+c=0$$ tale che la somma dei coefficienti di posto dispari sia uguale alla somma dei coefficienti di posto pari.
Le soluzioni dell'equazione sono $$x=-1 \vee x = -\frac{c}{a}$$
Quindi nel caso di $16t^2 - 65t - 81 = 0$ si ottiene $t = -1 \vee t = \frac{81}{16}$.
Meraviglioso, come l'hai scoperto?
"giuliofis":
Meraviglioso, come l'hai scoperto?
Merito di un'ottima insegnante! Io ho solo scritto le dimostrazioni.
"minomic":
[quote="giuliofis"]Meraviglioso, come l'hai scoperto?
Merito di un'ottima insegnante! Io ho solo scritto le dimostrazioni.[/quote]
Ad averli conosciuti mi sarei evitato diversi errori di calcolo alle superiori.
Scusa, minomic: le tue dimostrazioni sono belle ma non era più rapido usare Ruffini?
"giammaria":
Scusa, minomic: le tue dimostrazioni sono belle ma non era più rapido usare Ruffini?
Hai ragione!
E' che le ho buttate giù ieri sera e mi è venuto in mente quello.
Che pirla che sono!
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