Trovare l'equazione di una parabola
ciao a tutti..... devo svolgere un problema ma mi sono bloccata a metà.....il problema dice:
Scrivere l'eq. della parabola y=ax^2+bx+c che taglia l'asse y nel punto di ordinata 2 e passa per i punti A(2;1)e B(4;2). Analogamente per la parabola passante per il punto C (0;2) e avente il vertice nel punto D (2;8). Trovare i punti comuni alle due parabole e le tangenti in essi alle due curve.
Io sono riuscita a trovare l'eq. della prima parabola.....ma non riesco a calcolare l'eq. della parabola avente un solo punto e in vertice.... Come si fa????
Ringrazio in anticipo ...marta...
Scrivere l'eq. della parabola y=ax^2+bx+c che taglia l'asse y nel punto di ordinata 2 e passa per i punti A(2;1)e B(4;2). Analogamente per la parabola passante per il punto C (0;2) e avente il vertice nel punto D (2;8). Trovare i punti comuni alle due parabole e le tangenti in essi alle due curve.
Io sono riuscita a trovare l'eq. della prima parabola.....ma non riesco a calcolare l'eq. della parabola avente un solo punto e in vertice.... Come si fa????
Ringrazio in anticipo ...marta...
Risposte
Benvenuta.
Devi imporre le coordinate del vertice $X_V=2$ e $Y_V =8$.
Consiglio: per rendere leggibili le formule inseriscile tra il simbolo del dollaro.
Devi imporre le coordinate del vertice $X_V=2$ e $Y_V =8$.
Consiglio: per rendere leggibili le formule inseriscile tra il simbolo del dollaro.
grazie mille......ma ora che ci penso,non posso usare l'equazione che dici tu perchè non me l'hanno spiegata!!!....
c'è un modo per risolverlo utilizzando i sistemi??perchè io ciò provato ma non mi torna mai...
c'è un modo per risolverlo utilizzando i sistemi??perchè io ciò provato ma non mi torna mai...
@ mart@22
Innanzitutto benvenuta nel forum e buona permanenza.
Per cortesia, scrivi le formule usando il compilatore MathML od il TeX. Qui trovi le istruzioni per usarli.
Tornando al problema: se la parabola interseca l'asse delle ordinate nel punto di ordinata [tex]2[/tex], allora questo punto ha ascissa [tex]0[/tex], sicchè il punto [tex](0;2)[/tex] appartiene alla parabola. Inoltre vi appartengono i punti [tex]A\equiv(2;1)[/tex] e [tex]B\equiv(4;2)[/tex] sicché presa l'equazione generica [tex]y=ax^{2}+bx+c[/tex] sostituisci ad [tex]x[/tex] ed [tex]y[/tex] le coordinate di ciascun punto ottenendo tre equazioni in [tex]a,b,c[/tex] che potrai mettere a sistema.
La seconda parabola può essere trovata attraverso una considerazione elementare: la parabola ha come asse di simmetria la perpendicolare alla sua direttrice passante per il vertice, quindi se il punto [tex]C\equiv(0;2)[/tex] appartiene alla parbola ed il vertice è localizzato in [tex]D\equiv(2;8)[/tex], allora anche il punto [tex]E\equiv(2;2)[/tex] appartiene alla parabola: hai allora tre punti per procedere come sopra.
Innanzitutto benvenuta nel forum e buona permanenza.
Per cortesia, scrivi le formule usando il compilatore MathML od il TeX. Qui trovi le istruzioni per usarli.
Tornando al problema: se la parabola interseca l'asse delle ordinate nel punto di ordinata [tex]2[/tex], allora questo punto ha ascissa [tex]0[/tex], sicchè il punto [tex](0;2)[/tex] appartiene alla parabola. Inoltre vi appartengono i punti [tex]A\equiv(2;1)[/tex] e [tex]B\equiv(4;2)[/tex] sicché presa l'equazione generica [tex]y=ax^{2}+bx+c[/tex] sostituisci ad [tex]x[/tex] ed [tex]y[/tex] le coordinate di ciascun punto ottenendo tre equazioni in [tex]a,b,c[/tex] che potrai mettere a sistema.
La seconda parabola può essere trovata attraverso una considerazione elementare: la parabola ha come asse di simmetria la perpendicolare alla sua direttrice passante per il vertice, quindi se il punto [tex]C\equiv(0;2)[/tex] appartiene alla parbola ed il vertice è localizzato in [tex]D\equiv(2;8)[/tex], allora anche il punto [tex]E\equiv(2;2)[/tex] appartiene alla parabola: hai allora tre punti per procedere come sopra.
"mart@22":
Scrivere l'eq. della parabola y=ax^2+bx+c che taglia l'asse y nel punto di ordinata 2 e passa per i punti A(2;1)e B(4;2).
La parabola passa dai punti
[tex]C( 0 \,;\, 2 )[/tex] , [tex]A(2 \,;\, 1)[/tex] , [tex]B(4 \,;\, 2)[/tex]
dalla situazione simmetrica si deduce che $A$ è il vertice della parabola, quindi
l'equazione della parabola è della forma
[tex]y = a (x - 2)^2 + 1[/tex]
ora basta sostituire o C oppure B: è più comodo sostituire C, quindi
[tex]2 = a(0-2)^2 + 1[/tex]
da cui ricavi
[tex]a=\dfrac{1}{4}[/tex]
quindi la parabola ha equazione
[tex]y = \dfrac{1}{4} (x - 2)^2 + 1[/tex]
[tex]y = \dfrac{1}{4} x^2 - x + 2[/tex] .
"mart@22":
Analogamente per la parabola passante per il punto C (0;2) e avente il vertice nel punto D (2;8).
Usa la formula
[tex]y = a (x - 2)^2 + 8[/tex]
sostituisci le coordinate di C ed ottieni
[tex]2 = a (0 - 2)^2 + 8[/tex]
da cui ricaviamo
[tex]a = -\dfrac{3}{2}[/tex]
quindi la parabola ha equazione
[tex]y = -\dfrac{3}{2}\, (x - 2)^2 + 8[/tex]
[tex]y = -\dfrac{3}{2}\, x^2 + 6\,x + 2[/tex] .
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