Trovare le soluzioni di un'equazione a due variabili.
Trovare tutte le soluzioni intere positive dell'equazione: $x^2+2x-3-2xy-y=0$ .
Io ho messo in evidenza la $y$ , l'ho imposta uguale a zero (proprio come se dovessi calcolare i punti di intersezione con l'asse delle x) e ho trovato le due radici x=1 , x=-3.
Ho orientativamente capito come andava svolto l'esercizio?
Io ho messo in evidenza la $y$ , l'ho imposta uguale a zero (proprio come se dovessi calcolare i punti di intersezione con l'asse delle x) e ho trovato le due radici x=1 , x=-3.
Ho orientativamente capito come andava svolto l'esercizio?
Risposte
La soluzione $x=1$ è corretta, $x=-3$ invece no perché si richiedono solo radici positive.
Per ottenere tutte le soluzioni è necessario svolgere un procedimento un po' più lungo,
ragionando con i discriminanti, che devono essere quadrati perfetti perché le soluzioni siano intere.
Prova a pensarci sopra, altrimenti se vuoi te lo scrivo.
Per ottenere tutte le soluzioni è necessario svolgere un procedimento un po' più lungo,
ragionando con i discriminanti, che devono essere quadrati perfetti perché le soluzioni siano intere.
Prova a pensarci sopra, altrimenti se vuoi te lo scrivo.
Secondo me non è corretta neppure la soluzione $x=1$ in quanto le soluzioni sono delle coppie ordinate, quindi per $x=1$ la soluzione è $(1;0)$, ma $0$ non è positivo.
"@melia":
Secondo me non è corretta neppure la soluzione $x=1$ in quanto le soluzioni sono delle coppie ordinate, quindi per $x=1$ la soluzione è $(1;0)$, ma $0$ non è positivo.
Giustissimo, per distrazione ho pensato solo alla $x$.
Se non ho sbagliato i conti, allora, le soluzioni dovrebbero essere ${(2;1);(7;4)}$.
"meursault":
... le soluzioni dovrebbero essere ${(2;1);(7;4)}$.
Queste soluzioni vengono anche a me, ma sono le uniche o ce ne sono altre? A questo non so rispondere perché ho trovato le soluzioni per tentativi.
Putroppo non ho mai fatto operazioni del genere...qual è il ragionamento da seguire per arrivare alle soluzioni?
$x^2+2x-3-2xy-y=0$
Raccolgo la $x$:
$x^2-2(y-1)x-(y+3)=0$
Calcolo il discriminante utilizzando la $x$ come incognita:
$\Delta/4 = (y-1)^2+(y+3) = y^2-2y+1+y+3=y^2-y+4$
Affinché le soluzioni di $x$ siano numeri interi, il discriminante dev'essere un quadrato perfetto:
$y^2-y+4=n^2$ (con $n \in \mathbb{Z}$)
Calcolo il secondo discriminante:
$\Delta = 1-4*(4-n^2)=1-16+4n^2=4n^2-15$
Anche questa volta il discriminante dev'essere un quadrato perfetto affinché $y$ sia un numero intero:
$4n^2-15=p^2$ (con $p \in \mathbb{Z}$)
$4n^2-p^2=15$
Sfrutto il prodotto notevole:
$(2n-p)(2n+p)=15$
Poiché $n$ e $p$ sono interi, i due fattori tra parentesi sono a loro volta interi.
15 può essere scritto come prodotto di due interi in soli 4 modi:
$1*15$, $3*5$, $(-1)*(-15)$, $(-3)*(-5)$
Gli ultimi due modi derivano direttamente dai primi due,
quindi possiamo fare a meno di considerarli.
Ora risolviamo i sistemi:
I) ${(2n-p=1),(2n+p=15):} \rightarrow {(n=4),(p=7):}$
II) ${(2n-p=3),(2n+p=5):} \rightarrow {(n=2),(p=1):}$
I sistemi in cui i numeri delle coppie $(1;15)$ e $(3;5)$ sono invertiti sono superflui
(se non ne sei convinto prova a risolverli e capirai perché).
Sostituendo questi valori, otteniamo quindi le equazioni:
I) $y^2-y-12=0 \rightarrow y_1=-3$ (non acc.), $y_2=4$ (A)
II) $y^2-y=0 \rightarrow y(y-1)=0 \rightarrow y_1=0$ (non acc.), $y_2=1$ (B)
Infine, sostituendo di nuovo:
A) $x^2-6x-7=0 \rightarrow x_1=-1$ (non acc.), $x_2=7$ (acc.)
B) $x^2-4=0 \rightarrow x_1=-2$ (non acc.), $x_2=2$ (acc.)
In conclusione, le soluzioni sono $(2;1)$ e $(7;4)$.
Raccolgo la $x$:
$x^2-2(y-1)x-(y+3)=0$
Calcolo il discriminante utilizzando la $x$ come incognita:
$\Delta/4 = (y-1)^2+(y+3) = y^2-2y+1+y+3=y^2-y+4$
Affinché le soluzioni di $x$ siano numeri interi, il discriminante dev'essere un quadrato perfetto:
$y^2-y+4=n^2$ (con $n \in \mathbb{Z}$)
Calcolo il secondo discriminante:
$\Delta = 1-4*(4-n^2)=1-16+4n^2=4n^2-15$
Anche questa volta il discriminante dev'essere un quadrato perfetto affinché $y$ sia un numero intero:
$4n^2-15=p^2$ (con $p \in \mathbb{Z}$)
$4n^2-p^2=15$
Sfrutto il prodotto notevole:
$(2n-p)(2n+p)=15$
Poiché $n$ e $p$ sono interi, i due fattori tra parentesi sono a loro volta interi.
15 può essere scritto come prodotto di due interi in soli 4 modi:
$1*15$, $3*5$, $(-1)*(-15)$, $(-3)*(-5)$
Gli ultimi due modi derivano direttamente dai primi due,
quindi possiamo fare a meno di considerarli.
Ora risolviamo i sistemi:
I) ${(2n-p=1),(2n+p=15):} \rightarrow {(n=4),(p=7):}$
II) ${(2n-p=3),(2n+p=5):} \rightarrow {(n=2),(p=1):}$
I sistemi in cui i numeri delle coppie $(1;15)$ e $(3;5)$ sono invertiti sono superflui
(se non ne sei convinto prova a risolverli e capirai perché).
Sostituendo questi valori, otteniamo quindi le equazioni:
I) $y^2-y-12=0 \rightarrow y_1=-3$ (non acc.), $y_2=4$ (A)
II) $y^2-y=0 \rightarrow y(y-1)=0 \rightarrow y_1=0$ (non acc.), $y_2=1$ (B)
Infine, sostituendo di nuovo:
A) $x^2-6x-7=0 \rightarrow x_1=-1$ (non acc.), $x_2=7$ (acc.)
B) $x^2-4=0 \rightarrow x_1=-2$ (non acc.), $x_2=2$ (acc.)
In conclusione, le soluzioni sono $(2;1)$ e $(7;4)$.
Grazie per l'aiuto!
Lo svolgimento mi è sembrato un po' macchinoso, ma è molto chiaro.
Tuttavia noi abbiamo posto il discriminante pari a $n^2$ perchè la traccia richiedeva soluzioni intere; e se non mi fossero state richieste soluzioni intere?
Avrei forse dovuto eguagliare il discriminante ad un generico $n$ ?
Potrei avere degli esercizi simili a questo in modo da esercitarmi?
Lo svolgimento mi è sembrato un po' macchinoso, ma è molto chiaro.
Tuttavia noi abbiamo posto il discriminante pari a $n^2$ perchè la traccia richiedeva soluzioni intere; e se non mi fossero state richieste soluzioni intere?
Avrei forse dovuto eguagliare il discriminante ad un generico $n$ ?
Potrei avere degli esercizi simili a questo in modo da esercitarmi?
"billytalentitalianfan":Se l'unica richiesta fosse stata la realtà, dovevi imporre che il primo discriminante fosse maggiore o uguale a zero; poiché questo risulta sempre vero, y può assumere qualunque valore. Per x c'è invece la limitazione $x \ne -1/2$: per tutti gli altri valori, nota x puoi calcolare y.
la traccia richiedeva soluzioni intere; e se non mi fossero state richieste soluzioni intere?
Chiedo umilmente scusa per la mia "durezza di comprendorio" ma da dove è uscito quel $x!=-1/2$ ?
"Per tutti gli altri valoro nota x posso calcolare y" , ma dove e come calcolo i valori di x in questo caso?
Hai mica qualche link da cui scaricare esercizi di questo tipo?
"Per tutti gli altri valoro nota x posso calcolare y" , ma dove e come calcolo i valori di x in questo caso?
Hai mica qualche link da cui scaricare esercizi di questo tipo?
meursault ha risolto rispetto ad $x$. risolvendo rispetto ad $y$ sia ha qualche altra informazione, come $x != -1/2$:
$y(2x+1)=x^2+2x-3 -> y=((x-1)(x+3))/(2x+1)$
spero sia chiaro. ciao.
$y(2x+1)=x^2+2x-3 -> y=((x-1)(x+3))/(2x+1)$
spero sia chiaro. ciao.
La $x \ne -1/2$ è uscita dall'equazione iniziale, da cui puoi ricavare y se il suo coefficiente non è zero, cioè se vale quella condizione. A parte questo. puoi dare a x qualsiasi valore e quindi non puoi calcolarne i valori possibili. Del resto, in generale da una equazione si può ricavare una sola incognita mentre all'altra possono essere assegnati valori qualsiasi; solo per particolari equazioni o in presenza di particolari limitazioni (ad esempio, che siano numeri interi) si possono ricavare entrambe le incognite. Non so indicarti dei link in proposito, ma prova a cercare alla voce "equazione diofantea".
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