Trovare gli asintoti senza conoscere l'analisi matematica.

[Marco241]

Dopo aver disegnato la curva gamma $y=x/(1-x)$,determinare l'equazione della parabola P avente per asse di simmetria l'asintoto orizzontale di gamma e tangente a gamma nell'origine O degli assi.Calcolare l'area del segmento parabolico delimitato da P e dall'asintoto verticale di gamma.

SVOLGIMENTO:

ma come faccio a ricavarmi l'asintoto orizzontale di gamma senza conoscere l'analisi? Mi ricavo x in funzione di y e noto che per $y=-1$ la funzione non è definita....e quel punto dovrebbe essere un asintoto solo che quando impongo le tre condizioni per ricavare a,b e c il sistema non viene:

$b=2a$

$c=0$

poi interseco la parabola P generica con gamma e pongo il delta uguale a zero ma non viene...Consigli?

[@melia]

La funzione $Gamma$ è un'iperbole equilatera traslata, detta anche funzione omografica, ed è, comunque, una conica.
Dalla definizione di funzioni tangenti hai che "due funzioni sono tangenti in un punto se hanno, in quel punto, la stessa retta tangente", per cui per imporre la tangenza tra le due curve devi trovare l'equazione della retta tangente l'iperbole e metterla a sistema con la parabola e imponendole la condizione di tangenza.
P.S. le prime due equazioni che hai trovato sono esatte.

[chiaraotta1]

"Marco24":
.......
$b=2a$

$c=0$
....

Se la parabola è del tipo $x=ay^2+2ay$, facendo sistema con l'iperbole $y=x/(1-x)$ si ottiene
${(x=ay^2+2ay), (y=x/(1-x)):}->y=(ay^2+2ay)/(1-ay^2-2ay)->y(1-ay^2-2ay)=y(ay+2a)->$
$y(1-ay^2-2ay-ay-2a)=0->y(ay^2+3ay+2a-1)=0$.
Si tratta di un'equazione di 3° grado in $y$ che deve avere due soluzioni coincidenti $y=0$ perché le due curve siano tangenti nell'origine. Una soluzione $y=0$ si ha azzerando il primo fattore. La seconda c'è se è $=0$ il termine noto di $ay^2+3ay+2a-1$. Questo avviene se $2a-1=0->a=1/2$.
Quindi la parabola cercata ha equazione
$x=1/2y^2+y$.

[Marco241]

Grazie Chiarotta questa cosa mi era sfuggita