Trova il valore massimo della seguente espressione trigonometrica ?

[Nick-12]

$1/(sen^2(x)+3sen(x)cos(x)+5cos^2(x)$

$1/(sen^2(x)+4scos^2(x)+cos^2(x)+3sen(x)cos(x) $

$1/(1+4cos^2(x)+3sen(x)cos(x)$

Sapendo che
$sen(2x)= 2sen(x)cos(x)$
$(1/2)sen(2x)= sen(x)cos(x)$
quindi $(1/2)sen(2x)+sen(2x)=3/2sen(2x)=3sen(x)cos(x) $
mentre $cos^2(x)=(1+cos(2x))/2$
quindi il $4cos^2(x)=2+2cos(2x)$

$1/(1+2+2cos(2x)+3/2sen(2x))$
$1/(3+2cos(2x)+3/2sen(2x))$

Adesso non mi è chiaro come continuare. Grazie mille in anticipo

[@melia]

Da $1/(3+2cos(2x)+3/2sen(2x))$ dobbiamo lavorare con angoli non noti, quindi

$1/(3+2cos(2x)+3/2sen(2x))= 1/(3+3/2(sen(2x)+4/3cos(2x)))=$

pongo $arctan (4/3) = alpha$, cioè $tan alpha = 4/3$ e ricavo $cos alpha = 3/5$, sostituendo

$= 1/(3+3/2(sen(2x)+tan alpha cos(2x)))= 1/(3+3/2(sen(2x)+(sin alpha/ cos alpha) cos(2x)))=$

$= 1/(3+3/(2cos alpha)(sen(2x)cos alpha+sin alphacos(2x)))=$ per la formula di somma dei seni

$= 1/(3+3/(2*3/5)sen(2x+alpha))= 1/(3+5/2 sen(2x+alpha))$

Il denominatore non si annulla mai, quindi la funzione assume valore massimo quando il denominatore è minimo, e questo avviene quando $sin(2x+alpha)=-1$, in tal caso la funzione vale

$1/(3+5/2*(-1))= 1/(3-5/2) =1/(1/2) =2$

[Nick-12]

Grazie melia