Trinomio di secondo grado...
Ciao a tutti come fa il trinomio $-3x^2-5x+2$ ad essere uguale a $ 1/12[7^2-(6x+5)^2]$ non risco a capire cosa si è fatto... chi mi può aiutare?
Risposte
"domy90":
Ciao a tutti come fa il trinomio $-3x^2-5x+2$ ad essere uguale a $ 1/12[7^2-(6x+5)^2]$ non risco a capire cosa si è fatto... chi mi può aiutare?
$1/12[7^2-(6x+5)^2]= 1/12[49-(36x^2+60x+25)]= 1/12[49-36x^2-60x-25]=$
$1/12[24-36x^2-60x]=1/12*12[2-3x^2-5x]=-3x^2-5x+2$.
cioè nel senso non capisco come fa partendo dall'equazione di secondo grado ad arrivare alla seconda scrittura... c'è una formula?
No, nessuna formula: è come se tu, trovandoti di fronte a $24=1/5(29+1)(3+1)$, chiedessi come si fa a passare dal primo al secondo membro. Puoi fare i calcoli del secondo membro e trovi 24 ma non il contrario. Del resto una formula non servirebbe a niente: $-3x^2-5x+2$ è una scritta più semplice di $1/12[7^2-(6x+5)^2]$.
Come ti è sorto questo dubbio?
Come ti è sorto questo dubbio?
dal libro.... dice che $-3x^2-5x+2$ essendo il coefficiente di secondo grado negativo e il discriminante maggiore di zero allora può essere scritto come la differenza di due quadrati e scrive:
$-3x^2-5x+2 = 1/12[7^2-(6x+5)^2]$.
però se l'esercizio non fosse svolto io a questa scrittura non ci sarei mai arrivato, tutti gli esercizi svolti li fa così ma non capisco come fa ad arrivarci cioè dovrei andare per tentativi? ma così ci metto una vita...
quindi ho pensato che ci doveva essere una formula....
l'unica che so da applicare in questo caso è:
$a(x-alpha)(x-beta)$, con $alpha
anche se volessi partire da questa comunque non so come si fa a trasformarlo in una differenza di quadrati...
$-3x^2-5x+2 = 1/12[7^2-(6x+5)^2]$.
però se l'esercizio non fosse svolto io a questa scrittura non ci sarei mai arrivato, tutti gli esercizi svolti li fa così ma non capisco come fa ad arrivarci cioè dovrei andare per tentativi? ma così ci metto una vita...
quindi ho pensato che ci doveva essere una formula....
l'unica che so da applicare in questo caso è:
$a(x-alpha)(x-beta)$, con $alpha
anche se volessi partire da questa comunque non so come si fa a trasformarlo in una differenza di quadrati...
Vuoi una formula? D'accordo
$ax^2+bx+c=$ raccolgo $1/(4a)$
$=1/(4a)(4a^2x^2+4abx+4ac)=$ ora aggiungo e sottraggo $b^2$
$=1/(4a)(4a^2x^2+4abx+b^2-b^2+4ac)=$ metto in evidenza il quadrato e il $Delta$
$=1/(4a)[(2ax+b)^2-(b^2-4ac)]=$ che può essere scritto
$=1/(4a)[(2ax+b)^2-sqrt(b^2-4ac)^2]$ perché $Delta $ è positivo
$ax^2+bx+c=$ raccolgo $1/(4a)$
$=1/(4a)(4a^2x^2+4abx+4ac)=$ ora aggiungo e sottraggo $b^2$
$=1/(4a)(4a^2x^2+4abx+b^2-b^2+4ac)=$ metto in evidenza il quadrato e il $Delta$
$=1/(4a)[(2ax+b)^2-(b^2-4ac)]=$ che può essere scritto
$=1/(4a)[(2ax+b)^2-sqrt(b^2-4ac)^2]$ perché $Delta $ è positivo
Wow grazie mille!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Complimenti @melia! Effettivamente è la risposta a cui si può arrivare con una formula ma, senza formule, te ne do un'altra:
$-3x^2-5x+2=1/4[(2x-3)^2-(4x+1)^2]$
e non è certo l'unica.
$-3x^2-5x+2=1/4[(2x-3)^2-(4x+1)^2]$
e non è certo l'unica.
ma così ci metto una vita...
quindi ho pensato che ci doveva essere una formula....
quindi ho pensato che ci doveva essere una formula....
Il tuo libro pensava certamente alla soluzione di @melia, in cui la formula c'è, e lo si capisce dal fatto che parla di discriminante positivo (cita anche la negatività del primo termine, che mi pare senza importanza). Io ho solo fatto presente che il problema era mal esposto e che c'erano anche altre soluzioni.
Per chi abbia voglia di cimentarsi, propongo un ampliamento del tuo problema: dimostrare che, in campo reale, un trinomio di secondo grado con discrimante negativo non può essere scritto come differenza di quadrati.
Per chi abbia voglia di cimentarsi, propongo un ampliamento del tuo problema: dimostrare che, in campo reale, un trinomio di secondo grado con discrimante negativo non può essere scritto come differenza di quadrati.
ammetto che la dimostrazione è invitante ma non so proprio da dove partire....
Pensaci ancora un po' e lasciamo che ci meditino anche altri; se nessuno si fa vivo manda un altro post fra due o tre giorni e darò la risposta. Posso dirti che la ritengo molto facile, tanto che pensavo di leggere una soluzione nel giro di un'ora o due. Però, stando ad un proverbio, nulla è più facile di un problema risolto.
Ciao!
Ma $(x^2+2)^2-(x^2+1)^2=2x^2+3$,o l'età inizia a dar segni preoccupanti?
Saluti dal web.
P.S.Se intendevi dire quadrati di binomi di primo grado,il quesito è interessante;
son proprio curioso di vedere se hai ragione tu,
ad essere tanto ottimista da ritener che,nella Scuola media Superiore di questa bella Italia,
il livello medio consenta allo studente medio d'effettuare "con le proprie forze" una riduzione ad assurdo:
naturalmente faccio il tifo che non ti sbagli
!
"giammaria":
..dimostrare che, in campo reale, un trinomio di secondo grado con discrimante negativo non può essere scritto come differenza di quadrati.
Ma $(x^2+2)^2-(x^2+1)^2=2x^2+3$,o l'età inizia a dar segni preoccupanti?
Saluti dal web.
P.S.Se intendevi dire quadrati di binomi di primo grado,il quesito è interessante;
son proprio curioso di vedere se hai ragione tu,
ad essere tanto ottimista da ritener che,nella Scuola media Superiore di questa bella Italia,
il livello medio consenta allo studente medio d'effettuare "con le proprie forze" una riduzione ad assurdo:
naturalmente faccio il tifo che non ti sbagli
!
Hai tutte le ragioni; intendevo quadrati di binomi di primo grado (o inferiore).
Se poi non ci fossero risposte, questo non dimostrerebbe che il mio ottimismo è ingiustificato: gli studenti "bravi" che frequentano questo sito non sono molto numerosi e la mia domanda non è in bella evidenza. Penso che tanti, notando che questo topic ha già avuto molte risposte, non gli diano neanche un'occhiata. Se il multiposting non fosse una violazione del regolamento (e un moderatore non può certo permetterselo) proverei a riproporre la domanda in un altro topic, magari nella sezione giochi; mi spiace di non averci pensato prima.
Se poi non ci fossero risposte, questo non dimostrerebbe che il mio ottimismo è ingiustificato: gli studenti "bravi" che frequentano questo sito non sono molto numerosi e la mia domanda non è in bella evidenza. Penso che tanti, notando che questo topic ha già avuto molte risposte, non gli diano neanche un'occhiata. Se il multiposting non fosse una violazione del regolamento (e un moderatore non può certo permetterselo) proverei a riproporre la domanda in un altro topic, magari nella sezione giochi; mi spiace di non averci pensato prima.
io ci ho pensato però non ci sono riuscito.... come si può fare? oltrettutto ora mi seve pure...
Supponiamo che si possa avere
$ax^2+bx+c= (px+q)^2-(rx+s)^2$
con $p!=+-r$ (altrimenti il secondo membro sarebbe di primo grado): allora le soluzioni di $ax^2+bx+c=0$ coinciderebbero con quelle di $(px+q)^2-(rx+s)^2=0$. Continuiamo con quest'ultima equazione; salto qualche facilissimo calcolo.
$ [(px+q)+(rx+s)] [(px+q)-(rx+s)]=0$
$[(p+r)x+(q+s)][(p-r)x+(q-s)]=0$
e con la legge di annullamento del prodotto trovo le due soluzioni reali $x_1=-(q+s)/(p+r)$ e $x_2=-(q-s)/(p-r)$. Quindi il secondo membro ha sempre zeri reali, mentre il primo non ne aveva: non possono essere uguali.
Questo ragionamento dà anche risposta alla tua domanda iniziale: supposto $Delta>0$, scrivere il trinomio come differenza di quadrati. Si calcolano $x_1, x_2$ e poi si ricavano $p,q,r,s$ dalla ultime due formule che ho scritto unite a $p^2-r^2=a$: ci sono infinite soluzioni.
$ax^2+bx+c= (px+q)^2-(rx+s)^2$
con $p!=+-r$ (altrimenti il secondo membro sarebbe di primo grado): allora le soluzioni di $ax^2+bx+c=0$ coinciderebbero con quelle di $(px+q)^2-(rx+s)^2=0$. Continuiamo con quest'ultima equazione; salto qualche facilissimo calcolo.
$ [(px+q)+(rx+s)] [(px+q)-(rx+s)]=0$
$[(p+r)x+(q+s)][(p-r)x+(q-s)]=0$
e con la legge di annullamento del prodotto trovo le due soluzioni reali $x_1=-(q+s)/(p+r)$ e $x_2=-(q-s)/(p-r)$. Quindi il secondo membro ha sempre zeri reali, mentre il primo non ne aveva: non possono essere uguali.
Questo ragionamento dà anche risposta alla tua domanda iniziale: supposto $Delta>0$, scrivere il trinomio come differenza di quadrati. Si calcolano $x_1, x_2$ e poi si ricavano $p,q,r,s$ dalla ultime due formule che ho scritto unite a $p^2-r^2=a$: ci sono infinite soluzioni.
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