Trigonometria:Problemi sul teorema della corda.

[shintek201]

Salve,non riesco a risolvere il seguente problema:
1)In una circonferenza di raggio 2 la corda AB misura $sqrt7$.Determinare il perimetro dei due triangoli isosceli inscritti nella circonferenza aventi AB come base.

Avevo pensato:

Ho la base AB=$sqrt7$
Ho il raggio=2

Mi trovo innanzitutto il perimetro del triangolo AOB, ho chiamato con O il centro della circonferenza,quindi AO e BO sarebbero i lati del triangolo isoscele,e sarebbero anche il raggio quindi:
$P=4+sqrt7$

Ma il libro riporta il risultato: $sqrt7+2sqrt2$

Dove ho sbagliato?

[Sk_Anonymous]

I triangoli devono essere inscritti nella circonferenza; il triangolo [tex]AOB[/tex] non lo è.

[shintek201]

Mi sono trovato il perimetro del triangolo maggiore,nel mio caso $2p(ABC)=2sqrt14+sqrt7$

Ma non capisco come fare per quello più piccolo...

[Sk_Anonymous]

Il procedimento da utilizzarsi per risolvere il secondo, più piccolo triangolo è il medesimo. E' opportuno ricordare che l'angolo alla circonferenza di tale triangolo è ottuso, pertanto il suo coseno è negativo (se eventualmente ti dovesse servire per calcolare il seno di [tex]$\frac{\alpha}{2}[/tex]; io ho fatto così).

[shintek201]

"Delirium":Il procedimento da utilizzarsi per risolvere il secondo, più piccolo triangolo è il medesimo. E' opportuno ricordare che l'angolo alla circonferenza di tale triangolo è ottuso, pertanto il suo coseno è negativo (se eventualmente ti dovesse servire per calcolare il seno di [tex]$\frac{\alpha}{2}[/tex]; io ho fatto così).

Quindi...non capisco cosa cambia?
Io faccio il medesimo procedimento ottengo lo stesso risultato per entrambi...
Potresti per favore spiegarti meglio?Grazie...

[_prime_number]

ABC ha l'angolo in C acuto, mentre ABC' ha l'angolo in C' ottuso e supplementare a quello in C (per vederlo basta osservare che le altezze CH e C'H giacciono sul diametro, dunque C'AC e C'BC sono triangoli rettangoli dunque gli angoli in C' e C devono essere supplementari dato che la somma degli angoli interni di una quadrilatero è 360°.

Paola

[Sk_Anonymous]

"shintek20":
Quindi...non capisco cosa cambia?
Io faccio il medesimo procedimento ottengo lo stesso risultato per entrambi...
Potresti per favore spiegarti meglio?Grazie...

OK, faccio un po' di chiarezza. La corda che si sta esaminando può essere, per così dire, "coinvolta" nella costruzione di due triangoli isosceli inscritti nella circonferenza data: l'uno, il più grande, possiede angolo alla circonferenza acuto (lo si evince dalla dimostrazione proposta da prime_number, oppure anche da un disegno), che indicherò con [tex]$\hat{C}[/tex], mentre l'altro, più piccolo, possiede angolo alla circonferenza ottuso, che indicherò con [tex]\hat{D}[/tex]. Ho creduto, forse erroneamente, che tu avessi sfruttato le proprietà di simmetria dei triangoli isosceli per risolvere il primo triangolo (calcolando il valore di [tex]$sen \frac{C}{2}$[/tex] e deducendo quindi il valore dei lati), e pertanto ti ho suggerito di ricordare che il calcolo di [tex]$sen \frac{D}{2}$[/tex] coinvolge un coseno negativo perché [tex]\hat {D}[/tex], ripeto, è ottuso.

Probabilmente la relazione del teorema della corda ti ha ingannato, portandoti a credere che gli angoli [tex]\hat{C}[/tex] e [tex]\hat{D}[/tex] fossero uguali (visto che uguale è il loro seno).

[shintek201]

Grazie,l'ho risolto facendo$DB=HB*cos(alpha/2)=sqrt2$ e risulta.
Anche se non ho capito benissimo il ragionamento...

[shintek201]

Ok,ho capito il ragionamento,Invece non riesco a finire questo problema:

E' data una semicirconferenza $gamma$ di diametro $AB=12$ e centro O.Una semiretta di origine A incontra la semicirconferenza in C,e in D la retta tangente alla semicirconferenza in modo che risulti $AD=20$.
Rispondere ai seguenti quesiti:

a)determinare le funzioni goniometriche e i lati dei triangoli ABD e ABC.(fatto)
$BD=16;cosB\hat AD=cosalpha=3/5;senapha=4/5;sen A\hat DB=3/5;A\hat BC=pi/2-alpha=A\hat DB;AC=36/5;BC=48/5$
Ho messo i risultati in modo da evitarvi i calcoli.

b)Detto M il punto medio dell'arco BC,determinare le funzioni goniometriche degli angoli $B\hat AM$ e $C\hat MB$.
$senC\hat MB$ lo trovato utilizzando la formula inversa del teorema della corda,e risulta$4/5$,se mi voglio calcolare il coseno utilizzo la formula fondamentale della trigonometria,ma mi risulta$cosC\hat MB=3/5$,mentre il libro lo riporta negativo.
Per quanto riguarda l'angolo $B\hat AM$ non ho idea di come fare.

[@melia]

Per caso l'angolo $hat(CMB)$ è ottuso? Dalla relazione fondamentale hai $cosx=+-sqrt(1-sin^2 x)$, poi considerando il quadrante in cui si trova l'angolo stabilisci il segno del coseno.

[@melia]

$hat(BAM)$ è la metà di $hat(BAC)$ perchè l'arco BC è diviso in due archi congruenti e quindi anche l'angolo alla circonferenza risulta diviso in due angoli congruenti

[shintek201]

"@melia":Per caso l'angolo $hat(CMB)$ è ottuso? Dalla relazione fondamentale hai $cosx=+-sqrt(1-sin^2 x)$, poi considerando il quadrante in cui si trova l'angolo stabilisci il segno del coseno.

Non lo so se l'angolo$C\hat MB$ è ottuso.Ok ma in quale quadrante si trova?Non riesco capire...

[@melia]

Un angolo ottuso, nella ciconferenza goniometrica, in quale quadrante si trova?
Oppure anche: che segno ha il coseno di un angolo ottuso?

[shintek201]

"@melia":Un angolo ottuso, nella ciconferenza goniometrica, in quale quadrante si trova?
Oppure anche: che segno ha il coseno di un angolo ottuso?

Ok,ho capito il tuo ragionamento, ma come capisco che $C\hat MB$ è un angolo ottuso?

Un ultimo quesito:
c)calcolare l'area del quadrilatero AOCN,essendo N il punto medio dell'arco AC.

Qualche suggerimento?

[@melia]

"shintek20":
Ok,ho capito il tuo ragionamento, ma come capisco che $C\hat MB$ è un angolo ottuso?

Perché insiste su un arco maggiore di una semicirconferenza.

"shintek20":Un ultimo quesito:
c)calcolare l'area del quadrilatero AOCN,essendo N il punto medio dell'arco AC. Qualche suggerimento?

Credi che basti sapere che NO è il raggio perpendicolare ad AC?