Trigonometria (triangoli qualunque)

[lisacassidy]

Buonasera a tutti! Ho il seguente problema:

Sia ABC un triangolo isoscele di base BC, di perimetro $ 4(sqrt(5)+1) $ e tale che $ cosBhat(A)C=3/5 $ .
a. Risolvi il triangolo
b. Determina su AB un punto P tale che valga la seguente relazione: $ sqrt(5)BP+sqrt(2)PC=12 $

Il punto a sono riuscita a risolverlo e mi viene:
$ AB=AC=2sqrt(5) $
$ BC=4 $
$ cosAhat(B)C=sqrt(5)/5 $

Nel secondo punto mi blocco. Ho provato a chiamare x il lato BP ed ad usare il teorema del coseno conoscendo BC, BP e l'angolo compreso ma non mi viene nulla di sensato. Potreste darmi qualche altra idea?

Grazie!

[axpgn]

Se poni $BP=x$ e quindi $PC=BC-BP=4-x$ hai una sola equazione con una sola incognita:

$sqrt(5)x+sqrt(2)(4-x)=12$

[lisacassidy]

Mi sfugge il motivo per cui PC=BC-BP. Da cosa deriva questa relazione?

[axpgn]

Scusami avevo interpretato $P$ come un punto su $BC$, sorry ...

[axpgn]

Mi pare che si possa usare il teorema di Stewart ...

[lisacassidy]

Purtroppo non ho fatto questo teorema. Solo teorema dei seni e teorema del coseno. Non c'è modo di applicare uno di questi due?

[axpgn]

Il teorema di Stewart non usa la trigonometria, solo moltiplicazioni

Provo a pensarci ma non garantisco niente

[lisacassidy]

Ok, allora guardo anche quel teorema.
Intanto, grazie!!

[axpgn]

Teorema di Stewart

[axpgn]

$BP=(4sqrt(5))/3$

Ho usato il teorema di Stewart però visto il risultato ci deve essere qualche strada più corta (probabilmente usando la trigonometria).
Sicuramente passerà di qua qualcuno più sveglio di me


Cordialmente, Alex

[@melia]

"eleonoraponti":
...
Nel secondo punto mi blocco. Ho provato a chiamare x il lato BP ed ad usare il teorema del coseno conoscendo BC, BP e l'angolo compreso ma non mi viene nulla di sensato. Potreste darmi qualche altra idea?

Grazie!

Con il teorema del coseno viene. Magari è utile chiamare $bar(BP)=xsqrt5$ così i calcoli vengono più semplici, con la condizione $0<=x<=2$.

$bar(PC)^2=5x^2-8x+16$

L'equazione è $5x+sqrt(10x^2+32-16x)=12$, isolando la radice e elevando alla seconda si ottiene

$15x^2-104x+112=0$, che ammette come soluzioni $x_1=4/3$ accettabile e $x_2=28/5$ non accettabile.

$bar(BP)=x*sqrt5=4/3sqrt5$