Trigonometria, quarto liceo.
Determinare il perimetro del triangolo rettangolo abc sapendo che detta H la proiezione sull'ipotenusa BC del vertice A è AH=180 e che cos acb ( su c l'archetto) = 12/13
Questo è il problema. Non sembra difficile, ma proprio non ci riesco ç_ç
Questo è il problema. Non sembra difficile, ma proprio non ci riesco ç_ç
Risposte
Soluzione:
La proiezione di A si BC determina il punto H. Ah altro non è che l'altezza dl triangolo rispetto all'ipotenusa.
Di questa altezza si sa che è pari a 180 (presumo cm).
Ora, l'area di un triangolo è pari al prodotto di qualunque dei suoi tre lati per l'altezza ad esso realtiva diviso due.
Sapendo questo, posso scrivere che:
AC* AB/2 = AH*BC/2
Il valore dell'area, in altre parole, è lo stesso, qualunque siano i lati presi a riferimento.
Se ne dedice che AC * AB = 180 * BC.
Un'altra informazione a nostra disposizione è che cos (ACB)=12/13.
dalla trigonometria, si sa che il coseno di quest'angolo è definito come: AC/BC.
Quindi AC/BC = 12/13, cioè AC = 12/13 BC.
Manca una terza informazione, per poter determinare univocamente AB, BC, AC.
Ce la fornisce il teorema di Pitagora, che esprime il rapporto esistente tra ipotenusa e cateti di un triangolo rettangolo, quale è appunto ABC.
BC^2 = AC^2 + AB^2
Le informazioni a nostra disposizione sono dunque che:
BC^2 = AC^2 + AB^2
AC * AB = 180 * BC.
AC = 12/13 BC.
Sostituisco la terza equazione nella seconda:
12/13 BC * AB = 180 * BC.
Ottengo che 12/13 AB = 180
Quindi AB = 180 x 13/12 = 195 cm.
Sostituisco la terza equazione anche nella prima, e sostiutisco ad AB il risultato appena trovato:
BC^2 = (12/13 BC)^2 + 195^2
BC^2 - 144/169 BC^2 = 38025
25/169 BC^2 = 38025
BC^2 = 38025 x 169/25 = 257049
BC = radice di 257049 = 507 cm
AC = 12/13 BC = 12/13 x 507 = 468 cm.
Ottieni poi il perimetro sommando tra loro questi lati.
PS. Esisterebbe in realtà anche un altro modo per determinate AB, AC e BC, che non utilizza il teorema di pitagora, ma le leggi della trigonometria.
Le due informazioni a nostra disposizione sono sempre:
AC * AB = 180 * BC.
AC = 12/13 BC.
A queste due si aggiunge poi il fatto di sapere che:
cos^2 (ACB) + sen^2 (ACB) = 1
Sostituendo: sen^2 (ACB) = 1 - (12/13)^2 = 1 -144/169 = 25/169.
Quindi
A questo punto, risultati e procedimenti sono analoghi a quelli già scritti.
Ciao!
La proiezione di A si BC determina il punto H. Ah altro non è che l'altezza dl triangolo rispetto all'ipotenusa.
Di questa altezza si sa che è pari a 180 (presumo cm).
Ora, l'area di un triangolo è pari al prodotto di qualunque dei suoi tre lati per l'altezza ad esso realtiva diviso due.
Sapendo questo, posso scrivere che:
AC* AB/2 = AH*BC/2
Il valore dell'area, in altre parole, è lo stesso, qualunque siano i lati presi a riferimento.
Se ne dedice che AC * AB = 180 * BC.
Un'altra informazione a nostra disposizione è che cos (ACB)=12/13.
dalla trigonometria, si sa che il coseno di quest'angolo è definito come: AC/BC.
Quindi AC/BC = 12/13, cioè AC = 12/13 BC.
Manca una terza informazione, per poter determinare univocamente AB, BC, AC.
Ce la fornisce il teorema di Pitagora, che esprime il rapporto esistente tra ipotenusa e cateti di un triangolo rettangolo, quale è appunto ABC.
BC^2 = AC^2 + AB^2
Le informazioni a nostra disposizione sono dunque che:
BC^2 = AC^2 + AB^2
AC * AB = 180 * BC.
AC = 12/13 BC.
Sostituisco la terza equazione nella seconda:
12/13 BC * AB = 180 * BC.
Ottengo che 12/13 AB = 180
Quindi AB = 180 x 13/12 = 195 cm.
Sostituisco la terza equazione anche nella prima, e sostiutisco ad AB il risultato appena trovato:
BC^2 = (12/13 BC)^2 + 195^2
BC^2 - 144/169 BC^2 = 38025
25/169 BC^2 = 38025
BC^2 = 38025 x 169/25 = 257049
BC = radice di 257049 = 507 cm
AC = 12/13 BC = 12/13 x 507 = 468 cm.
Ottieni poi il perimetro sommando tra loro questi lati.
PS. Esisterebbe in realtà anche un altro modo per determinate AB, AC e BC, che non utilizza il teorema di pitagora, ma le leggi della trigonometria.
Le due informazioni a nostra disposizione sono sempre:
AC * AB = 180 * BC.
AC = 12/13 BC.
A queste due si aggiunge poi il fatto di sapere che:
cos^2 (ACB) + sen^2 (ACB) = 1
Sostituendo: sen^2 (ACB) = 1 - (12/13)^2 = 1 -144/169 = 25/169.
Quindi
[math]sen^2 (ACB) = 25/169[/math]
[math]sen (ACB) = AB/BC = 5/13.[/math]
A questo punto, risultati e procedimenti sono analoghi a quelli già scritti.
Ciao!
Infatti il professore vuole usate solo formule trigonometriche...
magari ora ci provo anche io... solo che il sen(acb) me l'ero trovata e non sapevo continuare.
grazie lo stesso per l'aiuto (:
magari ora ci provo anche io... solo che il sen(acb) me l'ero trovata e non sapevo continuare.
grazie lo stesso per l'aiuto (:
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