Trigonometria problemi
1° problema :In un triangolo rettangolo ABC si ha A=90° e sen ACB = 3/5 .Sapendo che l'area del triangolo misura 6,si determinino le misure dei lati del triangolo e del raggio della circonferenza inscritta.Sia T il punto in cui la circonferenza inscritta nel triangolo tocca l'ipotenusa CB e sia P quel punto el segmento CT tale che la perpendicolare a CB in P sia la tangente alla circonferenza.Quanto misura CP?
2°problema:In un triangolo acutangolo ABC ,si tracci l'altezza AH.Sapendo che BAH =45° ,che cos CAH=4/5 e che l'ortocentro dista di 1 da A,si determinino cos BAC ,le misure dei lati del triangolo e dei segmenti BO,OC,la misura del raggio della circonferenza circoscritta ad ABC ,l'area del quadrato costruito sulla mediano relativa ad AC.
Grazie in anticipo di colui o colei che saprà darmi delucidazioni su questi due problemi !;)
2°problema:In un triangolo acutangolo ABC ,si tracci l'altezza AH.Sapendo che BAH =45° ,che cos CAH=4/5 e che l'ortocentro dista di 1 da A,si determinino cos BAC ,le misure dei lati del triangolo e dei segmenti BO,OC,la misura del raggio della circonferenza circoscritta ad ABC ,l'area del quadrato costruito sulla mediano relativa ad AC.
Grazie in anticipo di colui o colei che saprà darmi delucidazioni su questi due problemi !;)
Risposte
1) Ricaviamoci intanto le funzioni trigonometriche del triangolo:
Sen ACB=3/5
Cos ABC=3/5 (infatti in un triangolo rettangolo il seno dell'angolo acuto e' uguale al coseno dell'altro angolo acuto).
Ricaviamoci, con la relazione fondamentale della trigonometria, anche cos ACB (e quindi seno di ABC)
Chiamiamo
E quindi
Chiamiamo x l'ipotenusa BC
Quindi, sapendo che
Sappiamo che
analogamente
Il semiprodotto dei cateti e' l'area che e' 6
Pertanto l'ipotenusa sara' 5, e i cateti 3 e 4
Il raggio di una circonferenza inscritta ad un triangolo rettangolo, e':
Fino a qui ci sei?
Ora prova a dirmi come continueresti..
Ricordati che da un punto esterno alla circonferenza, partono due tangenti e che la distanza da questo punto esterno ai due punti di tangenza e' la medesima..
Sen ACB=3/5
Cos ABC=3/5 (infatti in un triangolo rettangolo il seno dell'angolo acuto e' uguale al coseno dell'altro angolo acuto).
Ricaviamoci, con la relazione fondamentale della trigonometria, anche cos ACB (e quindi seno di ABC)
Chiamiamo
[math] \beta [/math]
l'angolo ABC e [math] \gamma [/math]
l'angolo ACB[math] \cos \gamma = \sqrt{1 - \sin^2 \gamma} = \sqrt{1- \frac{9}{25}}= \frac45 [/math]
E quindi
[math] \sin \beta= \cos \gamma = \frac45 [/math]
Chiamiamo x l'ipotenusa BC
Quindi, sapendo che
[math] \frac{ \bar{AC}}{ \bar{BC}}= \sin \beta [/math]
Sappiamo che
[math] \bar{AC}= \sin \beta \cdot \bar{BC}= \frac45 x [/math]
analogamente
[math] \bar{AB} = \frac35 x [/math]
Il semiprodotto dei cateti e' l'area che e' 6
[math] \frac12 \cdot \frac45 x \cdot \frac35 x = 6 \to \frac{12}{50}x^2=6 [/math]
[math] x= 5 [/math]
Pertanto l'ipotenusa sara' 5, e i cateti 3 e 4
Il raggio di una circonferenza inscritta ad un triangolo rettangolo, e':
[math] r= \frac{b+c-a}{2} [/math]
dove b e c sono i cateti e a l'ipotenusaFino a qui ci sei?
Ora prova a dirmi come continueresti..
Ricordati che da un punto esterno alla circonferenza, partono due tangenti e che la distanza da questo punto esterno ai due punti di tangenza e' la medesima..
Dunque avendo il raggio posso osservare la distanza dal centro della circonfenrenza alla tangente.
Mando dal centro della circonferenza i due raggi che vanno a T e alla tangente e analizzo la figura ?!?
Mando dal centro della circonferenza i due raggi che vanno a T e alla tangente e analizzo la figura ?!?
Io procederei cosi': traccia i 3 raggi relativi ai 3 punti di tangenza (e pertanto perpendicolari alle tangenti stesse, ovvero i lati del triangolo)..
Chiama R l'ntersezione con AB e Q quella con AC.
I raggi perpendicolari a AB e AC formano un quadrato di lato=raggio.
Quindi AP=AQ=1
Poi sai che AB e' lunga 3, quindi BR=.....
Essendo BT l'altra tangente passante per B, allora BR=BT
Trovi poi CQ e dunque CT.
La distanza TP e' pari al raggio (il raggio TO e' perpendicolare perche' raggio relativo al punto di tangenza e la tangente passante per P e' perpendicolare per hp)
Chiama R l'ntersezione con AB e Q quella con AC.
I raggi perpendicolari a AB e AC formano un quadrato di lato=raggio.
Quindi AP=AQ=1
Poi sai che AB e' lunga 3, quindi BR=.....
Essendo BT l'altra tangente passante per B, allora BR=BT
Trovi poi CQ e dunque CT.
La distanza TP e' pari al raggio (il raggio TO e' perpendicolare perche' raggio relativo al punto di tangenza e la tangente passante per P e' perpendicolare per hp)
Ah . Ok grazie .
Posso chiudere?
Ehm aspetta un attimo ...l'altro è uguale ?Più o meno intendo :)
Sapendo che l'ortocentro e' il punto di incontro delle altezze, sai che la distanza da A all'ortocentro e' un segmento appartenente all'altezza AH e che misura 1.
Traccia tutte le altezze e chiamale CK e BM.
Il seno di 45 = coseno di 45 =
per le formule di addizione, sai che
Un angolo e' 45, l'altro ha
Quindi conosci coseno di BAC (e dunque anche il seno per la relazione fondamentale della trigonometria)
Ora se fai alcune considerazioni sui triangoli, noti che anche l'angolo CBA e' 45 (tracciati tutte le altezze).
Inoltre sai che AO e' 1, quindi detta BK l'altezza relativa a AC, sai che AK=4/5, KO=3/5.
E detta CP l'altezza relativa a AB, sai che AP=PO=radice2/2.
Grazie alle similitudini tra i triangoli, e i valori di coseno e seno, vedrai che trovi i dati mancanti.
Traccia tutte le altezze e chiamale CK e BM.
Il seno di 45 = coseno di 45 =
[math] \frac{ \sqrt2}{2} [/math]
per le formule di addizione, sai che
[math] \cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta [/math]
Un angolo e' 45, l'altro ha
[math] \cos \beta = \frac45 [/math]
e pertanto come nell'esercizio precedente [math] \sin \beta = \frac35 [/math]
Quindi conosci coseno di BAC (e dunque anche il seno per la relazione fondamentale della trigonometria)
Ora se fai alcune considerazioni sui triangoli, noti che anche l'angolo CBA e' 45 (tracciati tutte le altezze).
Inoltre sai che AO e' 1, quindi detta BK l'altezza relativa a AC, sai che AK=4/5, KO=3/5.
E detta CP l'altezza relativa a AB, sai che AP=PO=radice2/2.
Grazie alle similitudini tra i triangoli, e i valori di coseno e seno, vedrai che trovi i dati mancanti.
ok grazie mille :)
Prego.
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