Trigonometria problema con angoli

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Sui due lati di un angolo retto di vertice O sono dati due punti A e B che distano 2 da O.
Si conduca da O una semiretta interna all'angolo e si indichi con P la proiezione di A su tale semiretta. Si determini l'angolo che la semiretta deve formare con il lato OA affinché l'area del quadrilatero OAPB misuri
SQRT(2) + 1

risposta: Pi/8

[anna.supermath]

Sia
AOP = x
Scriviamo l’area del quadrilatero OAPB come la somma delle aree dei triangoli AOP e POB
Calcolo Aaop

Aaop = (1/2)(AO)(OP) (senx)
OP = (OA) sen((Pi/2)-x)
OP = 2cosx
Aaop = (1/2)(2)(2cosx) (senx)
Aaop = sen2x

Calcolo Aopb

Aopb = (1/2)(OP)(OB)(sen((Pi/2)-x))

Aopb = (1/2)(2cosx)(2)(cosx)

Aopb = 2(cosx)^2

Qui di di ha che
Aapbo = sen2x + 2(cosx)^2

Aapbo = (radice di 2) + 1
Quindi

sen2x + 2(cosx)^2 = (radice di 2) + 1
Che diventa
sen2x + cos2x = (radice di 2)

((radice di 2)/2)(sen2x) + ((radice di 2)/2)(cos2x) = 1

sen((2x) + (Pi/4)) = 1

(2x) + (Pi/4) = Pi/2
2x = Pi/4
x = Pi/8