Trigonometria con discussione

[ZeRoC00l]

salve a tutti, mi è capitato sotto mano un esercizio che non riesco proprio a risolvere... qualcuno può aiutarmi gentilmente?

premetto che penso che il problema sia che non riesco a rendere la funzione che trovo in maniera "semplice" da permettermi di fare la discussione con un k...

eccovi il testo...

data la semicirconferenza di diametro ab=2r considera le corde AC e CD, consecutive e congruenti. posto ABC=x discuti il numero di soluzioni dell'equazione che si ottiene dalla relazione:
$AC+CD+DB=(k-1)/2AB$ al variare di k appartenete ad R

io trovo, sostituendo valori dei triangoli l'equazione $4sinx+2cos(2x)-k+1=0$

ammesso che sia giusta, come la discuto?

grazie ancora dell'aiuto...

[adaBTTLS1]

l'equazione dovrebbe essere giusta... anche a me viene così. devi applicare la formula di duplicazione del coseno, scrivere tutto rispetto a senx, ti viene un'equazione di secodo grado nell'incognita senx ... , k è solo un parametro da considerare nel termine noto. devi trovare il discrimante dell'equazione di secondo grado... è chiaro? prova e facci sapere. ciao.

[adaBTTLS1]

aggiungo, visto che ora devo uscire, che solo dalla discussione sul discriminante dovresti ottenere $k<=4$, però poi dovresti andare avanti sull'accettabilità delle soluzioni, che impongono $0 spero di essere stata chiara. a più tardi. ciao.

[ZeRoC00l]

ho trovato la soluzione di senx è $(-1+-sqrt(16-k))/-2$, ma ora che ci devo fare con il risultato?

il risultato finale dovrebbe essere : $3<=k<1+2sqrt2$ una soluzione per $1+2sqrt2<=k<=4$ 2 soluzioni...

grazie dell'aiuto!

[ZeRoC00l]

"adaBTTLS":aggiungo, visto che ora devo uscire, che solo dalla discussione sul discriminante dovresti ottenere $k<=4$, però poi dovresti andare avanti sull'accettabilità delle soluzioni, che impongono $0 spero di essere stata chiara. a più tardi. ciao.

guarda, scusami ma questo punto non mi è chiaro.

io ho trovato il discriminante, che è $sqrt(16-k)$ e ho trovato i limiti dell'x, che a me però vengono $0<=x<=45°$

come trovo che k deve essere $<=4$? e successivamente come applico le limitazioni?

inoltre, la parte "non discriminante" quando la devo usare?

(ho sempre avuto il debito in matematica, penso si noti

[@melia]

"ZeRoC00l": $4sinx+2cos(2x)-k+1=0$

Come ti hanno già consigliato usi le formule di duplicazione e ottieni $4 sinx-4 sin^2 x=k-3$.
A questo punto è fondamentale avere calcolato le limitazioni per la $x$ che nel problema sono $0<=x<=(pi)/4$, infatti si ottiene $x=0$ quando $A=C$ e $x=(pi)/4$ quando $D=B$.
Adesso devi costruire il sistema per la soluzione grafica:
posto $sinx=X$ le limitazioni del problema si trasformano in $0<=X<=sqrt2/2$ e, dividendo l'equazioni in una parte parametrica e una no, il problema si traduce nella soluzione del sistema parametrico $\{(y = 4X-X^2),(y = k-3),(0<=X<=sqrt2/2):}$ le soluzioni di questo sistema parametrico sono proprio quelle che hai postato tu.


Ho corretto la seconda equazione togliendo l'errore di digitazione.

[adaBTTLS1]

alcune piccole imprecisioni o calcoli da rivedere:

"ZeRoC00l":ho trovato la soluzione di senx è $(-1+-sqrt(16-k))/-2$, ma ora che ci devo fare con il risultato?

il risultato finale dovrebbe essere : $3<=k<1+2sqrt2$ una soluzione per $1+2sqrt2<=k<=4$ 2 soluzioni...

grazie dell'aiuto!

mi permetto di scriverti i risultati della mia equazione (la stessa che ti ha scritto @melia):
senx = $(-2+-sqrt(16-4k))/-4$ = $(1-+sqrt(4-k))/2$

altra piccola osservazione $pi=180^o$ quindi la limitazione su x è da 0 a $pi/2$ e non solo fino a $pi/4$, almeno credo...
ciao.

PS: non tenere conto di quest'ultima frase, poiché, come precisato altrove, la limitazione precedente vale per l'angolo al centro e non per l'angolo alla circonferenza. quindi il messaggio successivo va modificato. scusate.

[adaBTTLS1]

con la limitazione che ritengo corretta, $0<=x<=pi/2$ e quindi con $0<=senx<=1$,
per ciascuna delle due soluzioni, a sistema con $k<=4$, si ottiene $k in [3, 4]$

quindi
per $k=4 -> x=pi/6$ soluzione doppia
per $k=3 -> x=0 vv x=pi/2$ soluzioni al limite (C e D coincidenti con A, oppure CO perpendicolare ad AB e D coincidente con B)
per $3 0 per $k<3 vv k>4$ non si hanno soluzioni accettabili

spero di essere stata chiara. ciao.

[ZeRoC00l]

grazie a tutt(e?).... ho capito a cosa serve il discriminante per la risoluzione... ma, una domanda, le due risposte che avete postato sono 2 metodi diversi di risolvere il problema o semplicemente va fatto prima uno e poi l'altro?

la limitazione di $0<=x<=45°$ viene dal problema, perchè, l'angolo in B, che può avere ampiezza massima 90°,è composto da 2 angoli minori almeno, cioè $A\hat BC=x$ (per definizione) e $C\hat BD=x$ (perchè usando il teorema della corda dato si trova che l'angolo è identico) quindi l'ampiezza massima è si 90, ma x è $90=2x$ al massimo

ho sbagliato anche qua per caso?

le soluzioni , a quanto ho capito si trovano disegnando i grafici delle funzioni, ma se per la prima funzione ($4x-4x^2=y$) sono riuscito a disegnarla(viene una specie di U rovescia giusto?), la funzione y=k-3, come si disegna? ripetendo la precedente traslata di 3? grazie molte a tutti...

[adaBTTLS1]

sì, pardon, me ne sono accorta troppo tardi; avevo fatto uno "sgorbio" di figura e poi ho "letto" come x l'angolo al centro mentre doveve essere l'angolo alla circonferenza. scusa, invio subito, le eventuali correzioni le faccio poi. ciao.

[ZeRoC00l]

tranquilla, facessi io solo questi errori di distrazione!

guarda, io probabilmente oggi passo il pomeriggio a far esercizi (domani mattina ho l'esame del recupero) gentilmente se ce la fai a rispondere alle (spero) ultime mie domande del post precedente entro stasera mi faresti un grosso favore...

grazie ancora sia a te che ad amelia per l'aiuto e (soprattutto) la pazienza...

[adaBTTLS1]

correggo il mio precedente messaggio. non è necessario svolgere entrambi i procedimenti. sull'altro metodo non sono in grado di intervenire con chiarimenti perché non ho capito che cosa raprresenta "e" nell'equazione. mi limito a correggere i miei errori.

"adaBTTLS":con la limitazione $0<=x<=pi/4$ e quindi con $0<=senx<=sqrt(2)/2$,
per ciascuna delle due soluzioni, a sistema con $k<=4$, si ottengono due sistemi autonomi per le due soluzioni che dànno le limitazioni al parametro k:
${[k<=4], [(1-+sqrt(4-k))/2 >=0], [(1-+sqrt(4-k))/2 <=sqrt(2)/2] :}$
per la prima soluzione si ha $k in [3, 4]$, per la seconda soluzione, $k in [2*sqrt(2)+1, 4]$
quindi
per $k=4 -> x=pi/6$ soluzione doppia
per $k=3 -> x=0$ soluzione al limite (C e D coincidenti con A)
per $3 per $k=2*sqrt(2)+1$ ci sono due soluzioni, di cui una al limite ($x=pi/4$, co perpendicolare ad AB e D coincidente con B)
per $2*sqrt(2) 0 per $k<3 vv k>4$ non si hanno soluzioni accettabili

spero di essere stata chiara. ciao.

[@melia]

La soluzione di Ada è quella algebrica, mentre quella che ho proposto io è quella grafica: si disegna la parabola nella quale si mette in evidenza l'arco individuato dalla limitazioni. Quindi si disegnano le rette del fascio passanti per gli estremi dell'arco e quella passante per il vertice della parabola.
La retta per $(0,0)$ dà k=3, quella per il vertice $(1/2, 1)$ dà $k=4$, mentre quella per il secondo estremo $(sqrt2/2; 2sqrt2-2) $dà $k=1+2sqrt2$
Adesso basta guardare la figura per capire quante e quali sono le soluzioni osservando le intersezioni tra l'arco di parabola e il fascio di rette

Riassumendo
per $k=3$ una soluzione limite
per $3 per $k=1+2sqrt2$ una soluzione limite e una ordinaria
per $1+2sqrt2 per $k=4$ due soluzioni coincidenti

@adaBTTLS
la "e" nell'equazione significa che ho un micetto nuovo e ho paura che vada fuori perché ho la strada vicina, quindi sono relegata in penombra per lasciare aperte le finestre e chiuse le persiane, perciò non mi sono accorta di avere digitato la "e" al posto del "3".

[ZeRoC00l]

ok, grazie mille, gentilissime come sempre...