Triangolo rettangolo

[LouLou1]

In un triangolo rettangolo i cateti sono uno il doppio dell’altro. Aumentando del 50% la lunghezza del cateto maggiore, l’aumento percentuale dell’ipotenusa è:

tra il 40% e il 50%.

Perché?

[kobeilprofeta]

Hai tre lati: $x/2,x,sqrt(5)/2x$ (teorema di pitagora).

Ora rifai i calcoli con $3/2x $ al posto di x e confronta la nuova ipotenusa con quella vecchia.

Edit: mi era scappato un esponente ovviamente

[teorema55]

Casomai

$\sqrt5 /2 x$

ma ancora più semplice usare

$x, 2x, \sqrt5x$

Ora, considerando un triangolo simile con costante di proporzionalità

$k=+50%$

cioè

$x_1=3/2 x$

avrai il triangolo con lati

$3/2 x, 3x, 3/2 \sqrt5x$

In parole povere, l'aumento percentuale di tutti i lati sarà esattamente del 50%

[kobeilprofeta]

Generalizzando, chiamiamo $a,b,c$ i lati del vecchio triangolo e $A,B,C$ i lati del nuovo triangolo (quello dilatato).
Ho $a=x,b=2x,c=sqrt(x^2+(2x)^2)=sqrt(5)x$
Poi dilato di un fattore $k$ il primo cateto. Avrò quindi:
$A=kx,B=2kx,C=sqrt((kx)^2+(2kx)^2)=sqrt(5)kx$
Andiamo ora a calcolare l'aumento percentuale dei tre lati (facendo lato nuovo diviso lato vecchio):
$A/a=frac{kx}{x}=k$
$B/b=frac{2kx}{2x}=k$
$C/c=frac{sqrt(5)kx}{sqrt(5)x}=k$
Quindi qualunque sia la dilatazione, l'aumento in % dei tre lati è identico. Nel tuo caso $k=3/2$, quindi l'aumento è del $50%$.

Ciao.

[Erasmus_First]

@ kobeilprofeta

Casino facesti !
Il triangolo, da $[x, y, z] = [1,2, sqrt5]$ che era, diventa $[1, 3, sqrt10]$.
L'ipotenusa cresce nel rapporto $sqrt2$, cioè del 41,42... %

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[kobeilprofeta]

@erasmus
Non ho capito

[kobeilprofeta]

Anzi forse sì.
Io ho interpretato che aumentando un cateto, si dovesse comunque rispettare la proporzione con un cateto il doppio dell'altro. Il testo forse chiedeva di lasciare fisso un cateto e dilatare solo l'altro.

Boh

[teorema55]

@kobeilprofeta

Interessante, e forse corretta, interpretazione..............

[Erasmus_First]

"kobeilprofeta":Anzi forse sì.
Io ho interpretato che aumentando un cateto, si dovesse comunque rispettare la proporzione con un cateto il doppio dell'altro. Il testo forse chiedeva di lasciare fisso un cateto e dilatare solo l'altro.
Boh

L'ìnterpretazione giusta è quella letterale, inequivocabile! Prova a rileggere con calma il testo.
D'altra parte, la risposta giusta –  ci dice Loulou (che io immagino "femmina") – – è che l'ipotenusa aumenta di una percentuale compresa tra 40% e 50%. E LouLou ci chiede perché è quella la risposta giusta. La spiegazione io gliel'ho data!

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