Triangolo equilatero diviso in tre parti
Salve,
Avrei bisogno di un aiuto con un esercizio che non riesco a risolvere;
1)Sia P un punto interno ad un triangolo equilatero ABC tale che AP=3 BP = 4 CP = 5. Determinare la lunghezza del lato di ABC.
Ho provato ad usare il teorema di Carnot ma mi ritrovo con troppe radici. C'é un modo migliore per arrivare alla soluzione?
Grazie
[xdom="Seneca"]Sposto in Secondaria II grado.[/xdom]
Avrei bisogno di un aiuto con un esercizio che non riesco a risolvere;
1)Sia P un punto interno ad un triangolo equilatero ABC tale che AP=3 BP = 4 CP = 5. Determinare la lunghezza del lato di ABC.
Ho provato ad usare il teorema di Carnot ma mi ritrovo con troppe radici. C'é un modo migliore per arrivare alla soluzione?
Grazie
[xdom="Seneca"]Sposto in Secondaria II grado.[/xdom]
Risposte
Ha ancora bisogno d'aiuto?
Sí grazie.
C'è qualcuno che può aiutarmi?
L'altro giorno ci ho ragionato due minuti, ma stavo uscendo e non volevo postare fesserie. Penso che una possibile soluzione sia
${(l^2=25-24cosalpha),(l^2=41-40cosbeta),(l^2=34-30cosgamma),(alpha+beta+gamma=2pi):}$
Potresti spiegarmi il ragionamento per favore?
Ma sei sicuro che sia risolvibile con metodi elementari?
Io ho impostato l'equazione:
$1/2(3×4)sen(alpha)+1/2(4×5)sen(beta)+1/2(3×5)sen(gamma)=sqrt(3)/4l^2$
E ho ricavato il coseno (e quindi il seno) in funzione di $l$ con Carnot. In questo modo ho un'equazione in $l$ improponibile da risolvere a mano, col computer mi pare venga $l=6,76$ o giù di lì.
Io ho impostato l'equazione:
$1/2(3×4)sen(alpha)+1/2(4×5)sen(beta)+1/2(3×5)sen(gamma)=sqrt(3)/4l^2$
E ho ricavato il coseno (e quindi il seno) in funzione di $l$ con Carnot. In questo modo ho un'equazione in $l$ improponibile da risolvere a mano, col computer mi pare venga $l=6,76$ o giù di lì.
Infatti anche io avevo provato con Carbon ma diventa troppo complesso. Per questo mi domandavo se ci fosse un' alternativa migliore. L'esercizio l'ho trovato tra dei giochi matematici.
"RuCoLa":
Infatti anche io avevo provato con Carbon ma diventa troppo complesso. Per questo mi domandavo se ci fosse un' alternativa migliore. L'esercizio l'ho trovato tra dei giochi matematici.
Hai trovato anche l'esercizio sulla circonferenza e le rette tangenti su questo sito? Perché ci sto pensando da ieri senza tirarne fuori nulla
hai per caso una soluzione per quello?
Praticamente i tre lati interni si incontreranno in un punto del triangolo,che verrà diviso in 3 parti. Questi tre angoli che formano un angolo giro, ovvero $alpha,beta,gamma$, li pongo come variabili. Dai dati, ho 4 segmenti che corrispondono ai lati degli angoli $alpha,beta,gamma$. Utilizzando il teorema di carnot deve venire fuori che
Naturalmente scegli tu come chiamare gli angoli e a chi assegnarli. Ora se risolvi il sistema in queste tre variabili(i coseni), ottieni qualcosa di sempre verificato. Il problema è che devi aggiungere un'ultima condizione, ovvero che la somma di quei tre angoli deve essere $2pi$. Dunque sono abbastanza fiducioso che da quel sistema si possa ricavare la soluzione dopo calcoli abbastanza noiosi e meccanici.
$3^2+4^2-2(3*4)cos(alpha)=l^2$
Naturalmente scegli tu come chiamare gli angoli e a chi assegnarli. Ora se risolvi il sistema in queste tre variabili(i coseni), ottieni qualcosa di sempre verificato. Il problema è che devi aggiungere un'ultima condizione, ovvero che la somma di quei tre angoli deve essere $2pi$. Dunque sono abbastanza fiducioso che da quel sistema si possa ricavare la soluzione dopo calcoli abbastanza noiosi e meccanici.
Grazie molte ad entrambi!
Risolvere il sistema non mi pare immediato
${(l^2=25-24cosalpha),(l^2=41-40cosbeta),(l^2=34-30cos(2pi-(alpha+beta))):}$
${(cosalpha=(25-l^2)/24),(senalpha=sqrt(1-((25-l^2)/24)^2)),(cosbeta=(41-l^2)/40),(senbeta=sqrt(1-((41-l^2)/40)^2)),(l^2=34-30(cosalphacosbeta-senalphasenbeta)):}$
Il che si "riduce" a risolvere
$34-30(((25-l^2)/24)((41-l^2)/40)-sqrt((1-((25-l^2)/24)^2)(1-((41-l^2)/40)^2)))-l^2=0$
Che pure fa $l=6.67$
${(l^2=25-24cosalpha),(l^2=41-40cosbeta),(l^2=34-30cos(2pi-(alpha+beta))):}$
${(cosalpha=(25-l^2)/24),(senalpha=sqrt(1-((25-l^2)/24)^2)),(cosbeta=(41-l^2)/40),(senbeta=sqrt(1-((41-l^2)/40)^2)),(l^2=34-30(cosalphacosbeta-senalphasenbeta)):}$
Il che si "riduce" a risolvere
$34-30(((25-l^2)/24)((41-l^2)/40)-sqrt((1-((25-l^2)/24)^2)(1-((41-l^2)/40)^2)))-l^2=0$
Che pure fa $l=6.67$
siccome sto ripassando le coniche e fare calcoli noiosi mi secca, ho messo questo:
${(l^2=34-30cos(gamma)),(cosalpha=(30cosgamma-9)/24),(cosbeta=(30cosgamma+7)/40),(cos(alpha)cos(beta)-sin(alpha)sin(alpha)=cos(gamma)):}$
Svolti i calcoli ottengo $cos(gamma)=-0,393$ ovvero $lapprox6,76..$ che è un risultato abbastanza felice
@consec
Lo so però la soluzione è concorde e comunque risolverlo è noioso ma non difficile.
${(l^2=34-30cos(gamma)),(cosalpha=(30cosgamma-9)/24),(cosbeta=(30cosgamma+7)/40),(cos(alpha)cos(beta)-sin(alpha)sin(alpha)=cos(gamma)):}$
Svolti i calcoli ottengo $cos(gamma)=-0,393$ ovvero $lapprox6,76..$ che è un risultato abbastanza felice
@consec
Lo so però la soluzione è concorde
e comunque risolverlo è noioso ma non difficile.
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