Triangolo equilatero circoscritto ad un'ellisse
Calcola l'area del triangolo equilatero circoscritto all'ellisse di equazione $x^2/4 + y^2/3 = 1$ con un vertice sul semiasse positivo delle $y$.
Dai dati del problema ricavo $a=2$ e $b=sqrt(3)$. Inoltre la retta tangente all'ellisse parallela all'asse $x$ ha equazione $y=-sqrt(3)$.
L'altezza $BH$ del triangolo equilatero è $(sqrt(3)/2)*l$ e la base $AH$ è $l/2$.
Ho pensato di poter sfruttare il fatto che gli angoli hanno ampiezza $60°$ per ricavarmi il coefficiente angolare delle rette su cui giacciono gli altri due lati del triangolo; però anche se ci riuscissi non avrei le coordinate dei due punti - i vertici del triangolo - sui quali passano le rette, quindi me ne farei ben poco.
La mia idea è quindi quella di trovare le equazioni delle due rette sulle quali stanno i lati obliqui del triangolo; poi con la distanza fra due punti ricavo la lunghezza del lato e infine mi ricavo l'area.
Consigli su come fare?
Dai dati del problema ricavo $a=2$ e $b=sqrt(3)$. Inoltre la retta tangente all'ellisse parallela all'asse $x$ ha equazione $y=-sqrt(3)$.
L'altezza $BH$ del triangolo equilatero è $(sqrt(3)/2)*l$ e la base $AH$ è $l/2$.
Ho pensato di poter sfruttare il fatto che gli angoli hanno ampiezza $60°$ per ricavarmi il coefficiente angolare delle rette su cui giacciono gli altri due lati del triangolo; però anche se ci riuscissi non avrei le coordinate dei due punti - i vertici del triangolo - sui quali passano le rette, quindi me ne farei ben poco.
La mia idea è quindi quella di trovare le equazioni delle due rette sulle quali stanno i lati obliqui del triangolo; poi con la distanza fra due punti ricavo la lunghezza del lato e infine mi ricavo l'area.
Consigli su come fare?
Risposte
Il coefficiente angolare del lato di sinistra è $sqrt(3)$, devi cercare per quale valore di $q$ la retta $y = sqrt(3)x + q$ è tangente all'ellisse
Come hai determinato il coefficiente angolare?
$tan 60°$
Non ho capito la tua risposta, ma ci sono arrivato comunque 
.
Grazie, ora dovrei riuscire a risolverlo.
.Grazie, ora dovrei riuscire a risolverlo.
"HowardRoark":
Non ho capito la tua risposta,....
il coefficiente angolare è la tangente dell'angolo sull'orizzontale, no?
I lati del triangolo sono inclinati di 60°, no?
Sì, ma non ho capito come converti il fatto che l'angolo è di $60°$ col coefficiente angolare. Non ho ancora studiato qualcosa che mettesse in relazione i gradi dell'angolo rispetto all'asse $x$ col coefficiente angolare della retta che determina appunto quell'angolo. Magari se mi spieghi quali nozioni applichi posso capire se 'ci posso arrivare'
Comunque il problema l'ho risolto.
Comunque il problema l'ho risolto.
Se prendi due punti $P_1$ e$P_2$ sulla retta, il coefficiente angolare è $(Deltay)/(Deltax)$, cioè è il rapporto dei due cateti del triangolo rettangolo che ha $P_1 P_2$ come ipotenusa. Ora, la tangente degli angoli acuti è proprio il rapporto dei cateti.
Ma quindi applichi la formula $m=(y_b-y_a)/(x_b-x_a)$?
Data una retta nella forma $y=mx+q$, il coefficiente angolare $m$ è pari al valore della tangente dell'angolo formato dalla retta con l'asse delle ascisse.
Ho capito la definizione di coefficiente angolare come rapporto tra la differenza delle ordinate e quella delle ascisse dei due punti della retta (che è infatti la definizione che ho studiato), ma nn riesco ancora a capire come si passi dal fatto che la retta forma con l'asse x un angolo di 60 gradi al fatto che il coefficiente angolare sia $sqrt(3)$. Io ci sono arrivato applicando la formula del coefficiente angolare, altrimenti nn l'avrei capito.
Quanto vale $tan(60°)$?
Non lo so, il fatto è che non ho proprio mai studiato il coefficiente angolare così. Probabilmente lo capirò andando avanti con gli studi
Non ho capito che cosa precisamente non ti è chiaro … 
Non mi è chiaro questo passaggio: come passi dalla constatazione che la retta forma un angolo di 60 gradi con l'asse x al fatto che abbia coefficiente angolare $sqrt(3)$?
Io ci sono arrivato perché ho ragionato su due punti ed ho calcolato il coefficiente angolare in base a quelli. Conoscere i gradi dell'angolo nn me lo ha fatto dedurre però.
Io ci sono arrivato perché ho ragionato su due punti ed ho calcolato il coefficiente angolare in base a quelli. Conoscere i gradi dell'angolo nn me lo ha fatto dedurre però.
Semplicemente perché, come ti hanno già detto e senza entrare in dettagli, il valore (numerico) che assume il coefficiente angolare $m$ nell'equazione della retta $y=mx+q$ è esattamente uguale al valore (numerico) della tangente dell'angolo formato dalla retta e dall'asse delle ascisse.
Quindi se conosci l'angolo, ne calcoli la tangente ed ecco trovato $m$, il coefficiente angolare.
Quindi se conosci l'angolo, ne calcoli la tangente ed ecco trovato $m$, il coefficiente angolare.
"HowardRoark":
Non mi è chiaro questo passaggio: come passi dalla constatazione che la retta forma un angolo di 60 gradi con l'asse x al fatto che abbia coefficiente angolare $sqrt(3)$?
Io ci sono arrivato perché ho ragionato su due punti ed ho calcolato il coefficiente angolare in base a quelli.
E i due punti erano due vertici del triangolo equilatero, immagino? Quindi come $Deltax$ e $Deltay$ hai preso la metà del lato di base e l'altezza, suppongo? Beh, facendo il rapporto $(Deltay)/(Deltax)$ hai anche calcolato la tangente dell'angolo di 60°, perciò siamo tutti contenti
Ok,credo di aver capito. Il fatto però è che per determinarmi il valore numerico della tangente devo fare il rapporto tra seno e coseno, e io fino a qualche minuto fa non sapevo neanche cosa fossero (ora lo so molto vagamente). Saranno cose che farò bene più in là comunque. 
Beh, se non hai ancora studiato trigonometria allora passa oltre ...
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