Triangoli e dimostrazioni

[Marco241]

E' dato un triangolo ABC di base AB ;si prolunghi il lato BC,dalla parte di C , di un segmento CD=AC e il lato AC, dalla parte di C,di un segmento CE=CB.Dimostrare che AD è parallelo a BE.

Dimostrazione:


HP:

$ CD=AC $
$ CE=CB $

TH:

$ AD parallelo ad BE $


Considero i triangoli

$ ACD $
$ BCE $

si ha:

$ hat(CDA)=hat(CAD) $ perchè angoli alla base di triangoli isosceli
$ hat(CEB)=hat(CBE) $

$ hat(ACD)=hat(BCE) $ perchè opposti al vertice.

Considero poi i triangoli

$ ACB $

$ DCE $

Questi triangoli risultano congruenti per il primo criterio di congruenza.

Tuttavia mi accorgo che basta tracciare le altezza dei due triangoli isosceli

$ ADC $

$ BCE $

La somma di queste altezze mi da un unico segmento di perpendicolare.

Adesso poichè AD e BE sono perpendicolari a questo segmento per un noto teorema sono congruenti fra loro. E il teorema è dimostrato.

[chiaraotta1]

"Marco24":E' dato un triangolo ABC di base AB ;si prolunghi il lato BC,dalla parte di C , di un segmento CD=AC e il lato AC, dalla parte di C,di un segmento CE=CB.Dimostrare che AD è parallelo a BE.

Dimostrazione:


HP:

$ CD=AC $
$ CE=CB $

TH:

$ AD parallelo ad BE $


Considero i triangoli

$ ACD $
$ BCE $

si ha:

$ hat(CDA)=hat(CAD) $ perchè angoli alla base di triangoli isosceli
$ hat(CEB)=hat(CBE) $

$ hat(ACD)=hat(BCE) $ perchè opposti al vertice.
....

Quindi $ hat(CDA)=hat(CAD) =hat(CEB)=hat(CBE) $ e in particolare $ hat(CDA)=hat(CBE) $.
Ma se la trasversale $BD$ forma con le rette $AD$ e $BE$ angoli alterni interni uguali, le rette $AD$ e $BE$ sono parallele.