Triangoli con lo stesso perimetro o stessa area
Nell'insieme dei triangoli del piano, la relazione AVERE LA STESSA AREA è piu' fine della relazione AVERE LO STESSO PERIMETRO ? O vale il viceversa?
In effetti è facile costruire una serie di triangoli con la stessa base e altezza (quindi stessa area) ma con perimetro diverso. Per cui avere lo stesso perimetro parrebbe piu' restrittivo che avere stessa area. Ma si può dimostrare questa cosa ?
Grazie
In effetti è facile costruire una serie di triangoli con la stessa base e altezza (quindi stessa area) ma con perimetro diverso. Per cui avere lo stesso perimetro parrebbe piu' restrittivo che avere stessa area. Ma si può dimostrare questa cosa ?
Grazie
Risposte
Potresti precisare cosa intendi con "più restrittivo"?
La classe (o insieme) dei triangoli aventi lo stesso perimetro è piu' piccola dell'insieme dei triangoli aventi stessa area.
1) non esiste "l'insieme dei triangoli che hanno lo stesso perimetro (o area)"; esiste invece "l'insieme dei triangoli che hanno un dato perimetro (o area)"
2) si tratta di insiemi infiniti, e non ce n'è uno incluso nell'altro: cosa vuol dire allora "più piccolo"?
3) e anche se uno fosse incluso nell'altro, trattandosi di insiemi infiniti, non si potrebbe senz'altro dire che uno è più numeroso dell'altro
4) infine, nel merito: dato un perimetro, i triangoli con quel perimetro possono avere qualsiasi area con un limite superiore; viceversa, data un'area, i triangoli con quell'area possono avere qualsiasi perimetro, con un limite inferiore. La situazione mi pare abbastanza simmetrica...
2) si tratta di insiemi infiniti, e non ce n'è uno incluso nell'altro: cosa vuol dire allora "più piccolo"?
3) e anche se uno fosse incluso nell'altro, trattandosi di insiemi infiniti, non si potrebbe senz'altro dire che uno è più numeroso dell'altro
4) infine, nel merito: dato un perimetro, i triangoli con quel perimetro possono avere qualsiasi area con un limite superiore; viceversa, data un'area, i triangoli con quell'area possono avere qualsiasi perimetro, con un limite inferiore. La situazione mi pare abbastanza simmetrica...
"mgrau":
1) non esiste "l'insieme dei triangoli che hanno lo stesso perimetro (o area)"; esiste invece "l'insieme dei triangoli che hanno un dato perimetro (o area)"
Giusto.
"mgrau":
2) si tratta di insiemi infiniti, e non ce n'è uno incluso nell'altro: cosa vuol dire allora "più piccolo"?
“Più piccolo” può voler dire tante cose ed, a ben vedere, caratterizzare la “piccolezza” di un dato insieme rispetto ad un dato problema è una delle grandi tematiche della ricerca Matematica dalla metà dello ‘800 fino ad oggi.
Quindi, effettivamente, Filippo12 farebbe meglio a specificare il senso di “piccolo” in questo contesto.
"mgrau":
3) e anche se uno fosse incluso nell'altro, trattandosi di insiemi infiniti, non si potrebbe senz'altro dire che uno è più numeroso dell'altro
Falso.
$NN$ è più piccolo di $RR$ in numerosi sensi, anche in quello della “numerosità”.
"mgrau":
4) infine, nel merito: dato un perimetro, i triangoli con quel perimetro possono avere qualsiasi area con un limite superiore; viceversa, data un'area, i triangoli con quell'area possono avere qualsiasi perimetro, con un limite inferiore. La situazione mi pare abbastanza simmetrica...
Non è detto, almeno non finché non si chiarisce il significato di “piccolo”.
"gugo82":
[quote="mgrau"]3) e anche se uno fosse incluso nell'altro, trattandosi di insiemi infiniti, non si potrebbe senz'altro dire che uno è più numeroso dell'altro
Falso.
$NN$ è più piccolo di $RR$ in numerosi sensi, anche in quello della “numerosità”.
[/quote]
Infatti, ho scritto "senz'altro", cioè, bisogna distinguere: a volte sì, a volte no
"gugo82":
Non è detto, almeno non finché non si chiarisce il significato di “piccolo”.
Che cosa, non è detto?
"mgrau":
[quote="gugo82"]
[quote="mgrau"]3) e anche se uno fosse incluso nell'altro, trattandosi di insiemi infiniti, non si potrebbe senz'altro dire che uno è più numeroso dell'altro
Falso.
$NN$ è più piccolo di $RR$ in numerosi sensi, anche in quello della “numerosità”.
[/quote]
Infatti, ho scritto "senz'altro", cioè, bisogna distinguere: a volte sì, a volte no[/quote]
Ah… Avevo frainteso il senso del grassetto.
"mgrau":
[quote="gugo82"]
Non è detto, almeno non finché non si chiarisce il significato di “piccolo”.
Che cosa, non è detto?[/quote]
La simmetria della situazione non basta, in mancanza di una definizione chiara del problema, a concludere alcunché.
"gugo82":
La simmetria della situazione non basta, in mancanza di una definizione chiara del problema, a concludere alcunché.
Ah certo. Infatti non volevo concludere nulla, al massimo evidenziare l'indeterminatezza della questione
Grazie ho capito.
Hai capito cosa?...
Ti stavamo chiedendo di chiarire il problema: che significa "più piccolo" per te?
Ti stavamo chiedendo di chiarire il problema: che significa "più piccolo" per te?
Provo a rispondere a Filippo12, alla luce dell'altro problema che ha posto.
Se fissi il perimetro, l'area varia in un intervallo fissato, da 0 a quanto si può ottenere se il triangolo fosse equilatero.
Se fissi l'area, invece, il perimetro può variare da quello del triangolo equilatero avente quell'area fino a $+oo$.
Se fissi il perimetro, l'area varia in un intervallo fissato, da 0 a quanto si può ottenere se il triangolo fosse equilatero.
Se fissi l'area, invece, il perimetro può variare da quello del triangolo equilatero avente quell'area fino a $+oo$.
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