Triangoli
La bisettrice di un angolo acuto di un triangolo rettangolo divide il cateto opposto in due segmenti lunghi 3cm e 5cm. Determinare il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo dato e la lunghezza della bisettrice.
GRAZIE E CIAO
Alessandro
GRAZIE E CIAO
Alessandro
Risposte
Dimmi se i miei risultati sono corretti... Poi ti dirò il procedimento.
Io ottengo: lunghezza_bisettrice = 3
5 ; raggio = 5
Io ottengo: lunghezza_bisettrice = 3
5 ; raggio = 5
Sì, sono corretti... ma come hai fatto?????
Alessandro
Alessandro
Indichiamo con x il cateto incognito.
Applicando il teorema di Pitagora si trova l'ipotenusa del triangolo:
(64 + x²)
Per il teorema della bisettrice si ha:
5x = 3*(64 + x²)
Elevando al quadrato si ottiene:
x² = 36 ===> x = 6 cm.
L'ipotesusa è perciò 10 cm e il raggio del cerchi circoscritto è 5 cm.
La bisettrice si trova semplicemente applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo che ha la bisettrice per ipotenusa.
Essa diventa(36 + 9) = 35.
Applicando il teorema di Pitagora si trova l'ipotenusa del triangolo:
(64 + x²)Per il teorema della bisettrice si ha:
5x = 3*
(64 + x²)Elevando al quadrato si ottiene:
x² = 36 ===> x = 6 cm.
L'ipotesusa è perciò 10 cm e il raggio del cerchi circoscritto è 5 cm.
La bisettrice si trova semplicemente applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo che ha la bisettrice per ipotenusa.
Essa diventa
(36 + 9) = 35.
MaMo, meno male che hai risposto tu! Io stavo per postare un procedimento
trigonometrico... Pensa che per risolvere il problema, essendomi dimenticato
dell'esistenza del teorema della bisettrice, ho usato il teorema dei seni,
le formule di bisezione... E mi domandavo se Alessandro avesse studiato questi argomenti.
Il tuo procedimento è senz'altro molto più chiaro ed immediato.
trigonometrico... Pensa che per risolvere il problema, essendomi dimenticato
dell'esistenza del teorema della bisettrice, ho usato il teorema dei seni,
le formule di bisezione... E mi domandavo se Alessandro avesse studiato questi argomenti.
Il tuo procedimento è senz'altro molto più chiaro ed immediato.
Un procedimento alternativo è questo.
Sia ABC il triangolo rettangolo in C,
l'angolo in A e 
l'angolo in B.
Supponiamo, senza perdita di generalità, che>=. Sia O il centro della circonferenza circoscritta e D l'intersezione della bisettrice uscente da A e il cateto BC. Essendo l'angolo COB=2, i triangoli DAB E COB sono congruenti, per cui AO=BD=5. Segue poi con Pitagora la lunghezza del segmento "bisettrice" AD.
..:: MatriX ::..
Sia ABC il triangolo rettangolo in C,
l'angolo in A e l'angolo in B.Supponiamo, senza perdita di generalità, che
>=. Sia O il centro della circonferenza circoscritta e D l'intersezione della bisettrice uscente da A e il cateto BC. Essendo l'angolo COB=2, i triangoli DAB E COB sono congruenti, per cui AO=BD=5. Segue poi con Pitagora la lunghezza del segmento "bisettrice" AD...:: MatriX ::..
Il mio procedimento è questo.
L'angolo in C è retto. Poniamo CAB = 2x, con 0 < x < 45°
BC ed AC sono i due cateti, AB è l'ipotenusa.
Detto H il punto di intersezione tra la bisettrice dell'angolo in A
e il cateto BC, si ha CH = 3 e HB = 5. La lunghezza della bisettrice AH
si può calcolare applicando il teorema dei seni al triangolo ACH:
AH = 3/sin x. Inoltre, applicando il teorema dei seni al triangolo
ABH si trova: 5/sin x = AH/sin(90° - 2x). Sostituendo al posto di AH
il valore precedentemente trovato si ha: 5/sin x = 3/[sinx*sin(90° - 2x)]
cioè 5/sin x = 3/(sinx*cos2x) e risolvendo questa equazione si trova:
2x = arccos(3/5), cioè, usando le formule di bisezione, x = arccos(25/5).
Il seno di x è allora:(1 - cos²x) = (1 - 4/5) = 5/5.
Quindi AH = 3/(5/5) = 35. A questo punto si trovano facilmente tutti
i lati del triangolo rettangolo: AC = 6, AB = 10, BC = 8.
Il raggio è: r = (AC*BC*AB)/(2AC*BC) = 5.
Modificato da - fireball il 21/04/2004 21:35:42
L'angolo in C è retto. Poniamo CAB = 2x, con 0 < x < 45°
BC ed AC sono i due cateti, AB è l'ipotenusa.
Detto H il punto di intersezione tra la bisettrice dell'angolo in A
e il cateto BC, si ha CH = 3 e HB = 5. La lunghezza della bisettrice AH
si può calcolare applicando il teorema dei seni al triangolo ACH:
AH = 3/sin x. Inoltre, applicando il teorema dei seni al triangolo
ABH si trova: 5/sin x = AH/sin(90° - 2x). Sostituendo al posto di AH
il valore precedentemente trovato si ha: 5/sin x = 3/[sinx*sin(90° - 2x)]
cioè 5/sin x = 3/(sinx*cos2x) e risolvendo questa equazione si trova:
2x = arccos(3/5), cioè, usando le formule di bisezione, x = arccos(2
5/5).Il seno di x è allora:
(1 - cos²x) = (1 - 4/5) = 5/5. Quindi AH = 3/(
5/5) = 35. A questo punto si trovano facilmente tutti i lati del triangolo rettangolo: AC = 6, AB = 10, BC = 8.
Il raggio è: r = (AC*BC*AB)/(2AC*BC) = 5.
Modificato da - fireball il 21/04/2004 21:35:42
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