Tre punti allineati

[mirea01]

Come posso stabilire quando tre punti sono allineati sul piano cartesiano senza farne il disegno ma semplicemente leggendone le coordinate?

[ghira1]

"mirea00":Come posso stabilire quando tre punti sono allineati sul piano cartesiano senza farne il disegno ma semplicemente leggendone le coordinate?

Se i punti sono $A$, $B$ e $C$ potresti vedere se $AB$ e $AC$ vanno nella stessa direzione. O potresti vedere se l'area del triangolo $ABC$ è zero.

[vict85]

Se hai le coordinate, puoi anche verificare che esista un \(t\in \mathbb{R}\) tale che:
\begin{cases} x_C &= (1-t)x_A + tx_B \\ y_C &= (1-t)y_A + ty_B \end{cases}

Similmente per dimensioni maggiori.

[@melia]

O anche verificando che la retta AB passi per C
$(y_c - y_a)/(y_b -y_a) = (x_c - x_a)/(x_b -x_a) $

[gugo82]

"@melia":O anche verificando che la retta AB passi per C
$(y_c - y_a)/(y_b -y_a) = (x_c - x_a)/(x_b -x_a) $

Oppure verificando che i coefficienti angolari delle rette $r_(AB)$ ed $r_(AC)$ sono uguali (a patto che esse non siano entrambe verticali), cioè controllando se:

$(y_B - y_A)/(x_B - x_A) = (y_C - y_A)/(x_C - x_A)$.

Perché funziona? Prova a spiegarlo tu.

Ancora, se vuoi liberarti dell’ipotesi di non verticalità delle rette, puoi verificare che:

$(y_B - y_A)*(x_C - x_A) = (x_B - y_A)*(y_C - y_A)$

che è la stessa cosa di verificare se vale la seguente relazione con un determinante $2 xx 2$:

$|(x_B - x_A, y_B - y_A), (x_C - x_A, y_C - y_A)| = 0$.

Perché funzionano? Prova a pensarci un po’.


A questo proposito, mi viene in mente una domanda che volevo porre da un po’ di tempo, ma lo faccio in un altro posto…