Tre problemi di geometria? Mi aiutate per favore? :)

[serpe954]

Salve a tutti. Mi aiutereste cortesemente a risolvere questi problemi?

1) Un triangolo isoscele è inscritto in un cerchio di diametro 150 cm; la base del triangolo misura 144 cm. Calcola il perimetro e l'area del triangolo.

Risultato: 2p = 384 cm; area = 6912 cm^2
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2) Un trapezio isoscele, la cui area misura 2000 cm^2, è circoscritto ad una circonferenza di diametro 40 cm. Calcola la misura delle basi del trapezio.

Risultato: 80 cm; 20 cm
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3) Sui lati di un quadrato ed esternamente ad esso costruisci le semicirconferenze che hanno per diametro i lati stessi. Dimostra che la somma delle quattro semicirconferenze sta al perimetro del quadrato come la loro area sta all'area del quadrato.





Tante grazie!

[enrico___1]

Sia un triangolo isoscele ABC di base BC e altezza AH.
Tracci un segmento da A fino ad intersecare la circonferenza dalla parte opposta in D. AD è il diametro. Gli angoli

[math]A\hat BD\quad A\hat CD[/math]

sono retti perchè è un angolo alla circonferenza che sottende un diametro.
I due triangoli che si vengono a creare sono congruenti; considera il triangolo ACD.

Se poni AH=x e HD=150-x puoi usare il secondo teorema di Euclide

[math]HC^2=AH\cdot HD[/math]

dove HC=

[math]\frac{AB}{2}[/math]

Otterrai un'equazione di secondo grado e quindi avrai due soluzioni (54,96)
Ponendo AH=54 prima vedrai che i risultati non sono quelli richiesti (usando il primo teroema di Euclide).
Con AH=96

AC =

[math]\sqrt{AH\cdot AD} = 120 cm[/math]

Il perimetro sarà dato da 2P=BC+2AC= 384 cm e l'area

[math]A=\frac{BC\cdot AH}{2}=72\cdot 96=6912 cm^2[/math]

Aggiunto 14 minuti più tardi:

Guarda https://www.skuola.net/matematica/teoremi-poligoni.html per alcuni teoremi.

Sia il trapezio isoscele ABCD con AB base maggiore, DC base minore: AB + DC = 2BC
BC =

[math]\frac{(AB+BC)}{2}=\frac{100}{2}=50 cm[/math]

Consideri il triangolo HBC, dove CH è l'altezza. Con Pitagora trovi HB=

[math]\sqrt{\bar{BC}^2-\bar{CH}^2}=\sqrt{900}=30 cm[/math]

AB-DC= 60 cm
AB-DC = 2HB

[math]
\{AB+DC = 100\\
AB-DC =60
[/math]

[math]
\{AB = 80 cm\\
DC = 20 cm
[/math]

Aggiunto 7 minuti più tardi:

Il raggio di ciascuna circonferenza è

[math]\frac{l}{2}[/math]

dove l è il lato del quadrato.

La lungehzza delle quattro semicriconferenze è data da Lunghezza=

[math]4\cdot \frac{l}{2}\pi=2\pi l[/math]

Mentre l'area è data da Area=

[math]4\cdot \frac{(\frac{l}{2})^2 \pi}{2} =\frac{l^2\pi}{2}[/math]

[math]
2\pi l:4l=\frac{l^2\pi}{2}:l^2
[/math]

Devi verificare che il prodotto dei medi è uguale a quello degli estremi

[math]
2\pi l^3=2\pi l^3
[/math]