Trasformazioni nel piano
Data una trasformazione nel piano ( ad esempio $x'=-y; y'=x$ ) quali sono i passaggi per scoprire di quale trasformazione si tratta?
Risposte
A livello di scuola superiore non sono noti gli operatori su spazi vettoriali, quindi la classificazione delle trasformazioni deve essere fatta riconoscendo nella trasformazione data una "forma standard".
Ad esempio
$ x'=x+a $
$y'=y +b$
con $a, b$ numeri reali, è una traslazione.
Nei casi come quello da te postato alcuni testi introducono la "matrice di trasformazione" e indicano delle istruzioni per capire di quale trasformazione si tratta...
In buona sostanza dipende dal testo cui fai riferimento per la teoria.
Ad esempio
$ x'=x+a $
$y'=y +b$
con $a, b$ numeri reali, è una traslazione.
Nei casi come quello da te postato alcuni testi introducono la "matrice di trasformazione" e indicano delle istruzioni per capire di quale trasformazione si tratta...
In buona sostanza dipende dal testo cui fai riferimento per la teoria.
Ti conviene considerarla come il risultato di 2 trasformazioni successive.
La prima (x'=y; y'=x) che è facile da vedere come simmetria rispetto alla bisettrice del 1° e del 3° quadrante. E' un ribaltamento che porta l'asse X sull'asse Y e viceversa.
La seconda (x''=-x'; y''=y') che è una simmetria rispetto all'asse Y.
Ciao
La prima (x'=y; y'=x) che è facile da vedere come simmetria rispetto alla bisettrice del 1° e del 3° quadrante. E' un ribaltamento che porta l'asse X sull'asse Y e viceversa.
La seconda (x''=-x'; y''=y') che è una simmetria rispetto all'asse Y.
Ciao
"lupomatematico":
Data una trasformazione nel piano ( ad esempio $x'=-y; y'=x$ ) quali sono i passaggi per scoprire di quale trasformazione si tratta?
Non so che cosa sai ma questa è una rotazione antioraria di un angolo retto attorno all'origine, basta che tu provi con i punti $(1;0)$ e $(0;1)$:
vedi dove vanno mediante questa trasformazione e deduci il resto..
Scusa Lupo se hai letto il mio mess. appena scritto. C'era una ..bip...enorme. 
Come ti fa notore Franced è una rotazione.
Questo lo pui dedurre dal fatto che si può ottenere componendo le due simmetrie assiali dette prima.
La composizione di due simm. assiali infatti è una rotazione di ampiezza doppia di quella dell'angolo tra gli assi rispetto ai quali fai le simmetrie.
Nel tuo caso gli assi sono la bisettrice del 1° quadrante e l'asse Y. L'angolo tra gli assi è 45° sicchè la rotazione risultante sarà 90°.
Se ci ragioni un attimo puoi anche scoprire come stabilire se la rotazione è oraria o antioraria.
Come ti fa notore Franced è una rotazione.
Questo lo pui dedurre dal fatto che si può ottenere componendo le due simmetrie assiali dette prima.
La composizione di due simm. assiali infatti è una rotazione di ampiezza doppia di quella dell'angolo tra gli assi rispetto ai quali fai le simmetrie.
Nel tuo caso gli assi sono la bisettrice del 1° quadrante e l'asse Y. L'angolo tra gli assi è 45° sicchè la rotazione risultante sarà 90°.
Se ci ragioni un attimo puoi anche scoprire come stabilire se la rotazione è oraria o antioraria.
Grazie per le risposte. Speravo che dal semplice studio della matrice di una trasformazione si potesse immediatamente risalire al tipo di trasformazione. Comunque ho trovato almeno questa caratterizzazione per le isometrie:
una matrice 2X2 A( con prima riga (a,b) e seconda (c,d)) è un'isometria se e solo se verifica le seguenti 3 condizioni:
1) $a^2+c^2=1$
2) $b^2+d^2=1$
3) $ab+cd=0$
una matrice 2X2 A( con prima riga (a,b) e seconda (c,d)) è un'isometria se e solo se verifica le seguenti 3 condizioni:
1) $a^2+c^2=1$
2) $b^2+d^2=1$
3) $ab+cd=0$
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