Trasformazioni geometriche.

[barbara91]

Vi prego di aiutarmi perchè non riesco assolutamente a risolvere il seguente problema:
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In un piano cartesiano Oxy, siano P(x, y) e P'(X, Y) i punti corrispondenti nella trasformazione:

T: X= ax + by
Y= cx + dy.

Sapendo che i punti A(3, √2) e B(3√2/2, 0) si trasformano, rispettivamente, nei punti
A'(1/3, 7√2/3) e B'( - √2/2, 2):

a) determinare la trasformazione T;
b) indicare la natura (affinità, similitudine, isometria, ...);
c) determinare i punti uniti e le rette unite;
d) trovare T^-1 e dire se T è involutiva, cioè se T o T = I;
e) scrovere l'equazione della curva γ1 (gamma1) immagine della parabola γ:x=√2 y^2/2,
nella T, e tracciare il grafico (non è necessario fare un dettaglio studio di
funzione);
f) calcolare l'area della parte di piano compresa fra γ e γ1.
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Come vedete è molto complicato.
Vi ringrazio anticipatamente

barbara91

[xico87]

T di fatto è una matrice che ti mettono in forma di sistema. dobbiamo determinare a,b,c e d.

T =
a b
c d

sappiamo che

T(3, rad2)^t = (1/3, 7rad(2)/3)

il simbolo ^t sta per "traslato" (il vettore OA deve essere messo in colonna).
poi fai la stessa cosa per quanto riguarda il vettore OB.
ottini il seguente sistema che ti permette di determinare le entrate della matrice T:

3*a + b*rad(2) = 1/3
3*c + d*rad(2) = 7rad(2)/3
a*3√2/2 = - √2/2
c*3√2/2 = 2

risolto il sistema hai determinato T.
non mi rivordo la definizione di punti/rette unite.
per trovare T^-1 puoi applicare il metodo della matrice pluriaumentata, che si basa sull'identità AA^-1 = 1. da questa osservazione scaturisce che applicando la riduzione totale gaussiana alla matrice A ed eseguendo sulle righe di I le stesse operazioni eseguite su quelle di A, ottengo la matrice (I|A^-1). in alternativa c'è un metodo con cramer, che ovviamente non ricordo.
per dire se è involutiva basta fare il prodotto delle due matrici e vedere se ottieni l'identità.
per il punto e) la parabola ha equazione gamma: x = √2 y^2/2. per trovare l'immagine basta semplicemente "dare in pasto" alla matrice T il vettore (x, √2 y^2/2) ed eseguire il prodotto riga per colonna.
per calcolare l'area dovrai sicuramente svolgere un integrale, se avessi problemi dammi l'equazione della curva gamma 1 che vedo di fartelo io

[barbara91]

Grazie di vero cuore
barbara91