Trasformazioni: affinità

[red_michael]

Qualcuno mi aiuta a risolvere questo esercizio?

Si consideri la trasformazione:
x'= 2x + y + a
y'= bx - y + 1

1.Determina a e b in modo che la retta 3x'-2y'+1=0 sia unita.
2.Per quali valori di a e di b la trasformazione non ha punti uniti?

Bush: "Leggo la Bibbia ogni giorno". George, sei arrivato alla bellezza di quasi 60 anni, finisci il libro!!!

[Sk_Anonymous]

1)Sostituendo x' e y' nell'equazione della retta,
con qualche calcolo risulta:
(6-2b)x+5y+(3a-1)=0
Volendo che tale equazione coincida (a meno
di inessenziali fattori di proporzionalita')
con quella data deve essere:
(6-2b)/3=-5/2
(3a-1)/1=-5/2
da cui si ricava:
a=-1/2;b=27/4 che sono i valori richiesti.
2)Ponendo nelle equazioni della trasformazione
x'=x e y'=y ,si ottiene il sistema:
x+y=-a
bx-2y=-1
Tale sistema non ha soluzioni se risulta:
det(1,1;b,-2)=0--->b=-2
det(-a,-1;1,-2)0 --->a -1/2
det(1,b;-a,-1)0 --->a -1/2
Da cui si ricava che non si hanno punti uniti
per a -1/2 e b=-2
Nota :per b=-2 la trasformazione e' degenere.
karl.
Bertinotti e Fassino:noi leggiamo "Il Capitale".
Fausto e Piero,ma come? non avete ancora capito che e' finita?.




Modificato da - karl il 28/05/2004 22:28:50

[fireball1]

2. Per quali valori di a e di b la trasformazione non ha punti uniti?
Poniamo: x' = x; y' = y. Avremo così il seguente sistema lineare:
{x + y = - a
{2y - bx = 1
le cui soluzioni ci danno le coordinate del punto unito.
Affinché non vi siano punti uniti bisogna che questo sistema
risulti impossibile, e quindi, utilizzando il teorema di
Rouché-Capelli, il rango della matrice dei coefficienti
di x ed y dev'essere diverso dal rango della matrice completa,
cioè quella che include anche i termini noti. Chiamiamo rispettivamente
A e A' la matrice dei coefficienti e quella completa.

    [1  1]

A = [2 -b]

Il rango di questa matrice è sicuramente 1, ed è 2 se il determinante
è diverso da zero, cioè se - b - 2 0 e quindi b - 2

Consideriamo ora la matrice completa:

     [1  1 -a]

A' = [2 -b  1]

Questa matrice contiene la sottomatrice A, e non può avere
rango superiore a 2. Abbiamo detto che la matrice A ha rango 2
se è b -2. Della matrice A' consideriamo il minore formato
dagli elementi a11, a13, a21, a23. Esso vale: 1 + 2a. Affinché
il rango di A' sia 2 bisogna quindi che sia, oltre che b -2,
anche a -1/2. Considerando poi il minore formato dagli elementi
a12, a13, a22, a23, si ha che esso vale: 1 + ab.
Ricapitolando, il sistema è possibile se: b -2, a -1/b, a -1/2.
Quindi direi che il sistema è impossibile per b = -2 e a -1/2.
In questo modo infatti il rango di A è 1 e il rango di A' è 2. Perciò
questi dovrebbero essere i valori per cui la trasformazione non ha punti uniti.

[fireball1]

Cavolo karl, abbiamo postato con 20 secondi di differenza!

[Sk_Anonymous]

Per Fireball.
C'e' mancato poco!
Complimenti per i progressi che vedo stai facendo in
Analisi (e' un'altra cosa ,vero?).
Saluti da karl.

[red_michael]

Grazie 1000

Bush: "Leggo la Bibbia ogni giorno". George, sei arrivato alla bellezza di quasi 60 anni, finisci il libro!!!

[fireball1]

Io ho usato il teorema di Rouché-Capelli, ma la seconda
parte dell'esercizio poteva svolgersi molto più semplicemente
così: un sistema lineare di primo grado in due incognite è impossibile
se il rapporto tra il coefficiente della x della prima equazione e
il coeff. della x della seconda equazione è uguale al rapporto tra
il coeff. della y della prima equazione e il coeff. della y della
seconda equazione, ma diverso dal rapporto tra il termine
noto della prima equazione e il termine noto della seconda.
In questo caso, bastava impostare:
-1/b = 1/2 -a
Da cui si ricava immediatamente: b = -2, a - 1/2

Modificato da - fireball il 29/05/2004 22:11:53