Trapezio inscritto in una circonferenza

[dnl888]

Salve a tutti, ho questo quesito con delle difficoltà a risolvere:
Un trapezio isoscele ABCD è inscritto in una semicirconferenza di diametro AB=8a.Detta E la proiezione di D su AB, indica con X la misura di AE. Calcola la misura del perimetro del trapezio in funzione di X e determina per quali valori di X tale perimetro è maggiore di 19a.
Ora, io ho posto un dominio per X, cioè 0≤X≤4a , dove 4a è naturalmente il raggio della semicirconferenza ed è il valore massimo possibile per X; a 4a si ottiene un triangolo isoscele, con perimetro 19,3a per cui concorde con quello che mi richiede il problema. Qualche input?

[mgrau]

Riesci a trovare il lato obliquo in funzione di x?

[dnl888]

Solo per x=4a

[teorema55]

Applicherei 2° Euclide sul triangolo rettangolo $ADB$, che, conoscendo le misure delle due proiezioni dei cateti sull'ipotenusa, ti permette di calcolare la misura dell'altezza $DE$ in funzione di $x$. Poi con Pitagora sul triangolo $ADE$ trovi, sempre in funzione di $x$, la misura dei lati obliqui $AD=CB$. La base minore è $DC=8a-2x$.

E per il perimetro il gioco è fatto.

Lo poni maggiore di $19a$ ed hai una disequazione di secondo grado da risolvere con attenzione perché contiene un radicale e devi verificare che le soluzioni siano maggiori di $0$.

A me viene

$P>19a$

per

$(15a - 3a\sqrt(21))/4 < x < (15a + 3a\sqrt(21))/4$

Okkio perché i calcoli non sono il mio forte............

PS: dal campo di esistenza di $x$ toglierei i segni di uguale, perché si riferiscono a due casi degeneri.

[@melia]

Concordo, i calcoli non sono il tuo forte, a me viene $a/2

Cita

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[teorema55]

C.V.D.

Concordo con il tuo risultato Avevo calcolato $32-12=30$ ecche sarà mai?

[dnl888]

Grazie mille! Domani lo risvolgo per rendermi conto bene di tutti i passaggi

[dnl888]

"teorema55":Applicherei 2° Euclide sul triangolo rettangolo $ADB$, che, conoscendo le misure delle due proiezioni dei cateti sull'ipotenusa, ti permette di calcolare la misura dell'altezza $DE$ in funzione di $x$. Poi con Pitagora sul triangolo $ADE$ trovi, sempre in funzione di $x$, la misura dei lati obliqui $AD=CB$. La base minore è $DC=8a-2x$.

E per il perimetro il gioco è fatto.

Lo poni maggiore di $19a$ ed hai una disequazione di secondo grado da risolvere con attenzione perché contiene un radicale e devi verificare che le soluzioni siano maggiori di $0$.

A me viene

$P>19a$

per

$(15a - 3a\sqrt(21))/4 < x < (15a + 3a\sqrt(21))/4$

Okkio perché i calcoli non sono il mio forte............

PS: dal campo di esistenza di $x$ toglierei i segni di uguale, perché si riferiscono a due casi degeneri.

Chiedo venia ma credo di avere problemi con l'applicazione del secondo teorema di euclide - non lo vedo da 15 anni - è corretto $DE^2=8ax-x^2$ ?

[@melia]

Credo di sì. Il teorema dice che il quadrato dell'altezza relativa all'ipotenusa è uguale al prodotto tra le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.