Tra due massimi
ieri parlando con un mio amico, lui diceva di un teorema che non ricordava bene, ma che nella sostanza diceva che tra due massimi esiste sempre un minimo!! penso che per una funzione continua sia vera come proprietà, giusto? ma esiste proprio un teorema che lo stabilisce?
Risposte
Beh, dipende anche da cosa intendi per continuità; ad esempio la funzione (la prima che m'è passata per la mente) \(-\frac{1}{\sin{x^2}}\) in \((-1.75,1.75)\) ha due massimi, ma non ha minimi ed è continua su tutto il suo dominio. Tuttavia non è continua su tutto \(\mathbb{R}\). Ad ogni modo, in generale, dati una funzione \(f\) continua e due suoi massimi \(a\) e \(b\), è sempre possibile prendere un intervallo \([a,b]\) chiuso e limitato sul quale \(f\) è definita. Vale Weierstrass \(\implies\) c'è sempre un minimo.
"seb":
Beh, dipende anche da cosa intendi per continuità; ad esempio la funzione (la prima che m'è passata per la mente) \(-\frac{1}{\sin{x^2}}\) in \((-1.75,1.75)\) ha due massimi, ma non ha minimi ed è continua su tutto il suo dominio. Tuttavia non è continua su tutto \(\mathbb{R}\). Ad ogni modo, in generale, dati una funzione \(f\) continua e due suoi massimi \(a\) e \(b\), è sempre possibile prendere un intervallo \([a,b]\) chiuso e limitato sul quale \(f\) è definita. Vale Weierstrass \(\implies\) c'è sempre un minimo.
intendevo continua sull'intervallo contenente i massimi. non succede nell'intervallo che hai riportato perchè c'è discontinuità nello zero!!
puoi spiegarmi meglio la questione "presi due massimi c'è sempre un intervallo chiuso e limitato in cui è continua"?
Eh, ma non è vero che la funzione in zero è discontinua perché lì non è definita ... come dice seb quella funzione è sempre continua nel suo dominio e d'altra parte non ha senso cercarne la continuità dove non è definita ... 
"axpgn":
Eh, ma non è vero che la funzione in zero è discontinua perché lì non è definita ... come dice seb quella funzione è sempre continua nel suo dominio e d'altra parte non ha senso cercarne la continuità dove non è definita ...
sì, ma una funzione è continua in un intervallo se è continua per ogni x appartenente all'intervallo. d'altra parte per quale motivo si parla di punti di discontinuità di seconda specie per funzioni del tipo $f(x)=1/x$? E' proprio per funzioni di questo tipo che si fanno i controesempi del teorema di weierstrass
La funzione $f(x)=1/x$ non è mai discontinua ...
Il problema di \(f(x)=\frac{1}{x}\) con il teorema di Weierstrass non è la discontinuità, ma la compatezza del dominio: preso un qualunque intervallo \([\alpha,\beta\,]\), se esso è tale da contenere lo zero, non essendo \(f\) ivi definita, è necessario spezzare tale intervallo in \([\alpha,0)\cup(0,\beta\,]\), che non è più un compatto.
"axpgn":
La funzione $f(x)=1/x$ non è mai discontinua ...
"seb":
Il problema di \(f(x)=\frac{1}{x}\) con il teorema di Weierstrass non è la discontinuità, ma la compatezza del dominio: preso un qualunque intervallo \([\alpha,\beta\,]\), se esso è tale da contenere lo zero, non essendo \(f\) ivi definita, è necessario spezzare tale intervallo in \([\alpha,0)\cup(0,\beta\,]\), che non è più un compatto.
ho capito! ma quando si dice $x=0$ è punto di discontinuità di seconda specie di $f(x)=1/x$ (è su tutti i libri) cosa vuol dire?
In effetti, nella scuola secondaria, si ha la pessima abitudine di parlare di continuità anche dove la funzione non è definita. Veramente, a differenza di qualche anno fa, almeno un manuale, per metterci una pezza, ha introdotto, oltre al concetto di continuità, il concetto di singolarità. Insomma, secondo questo manuale, la funzione $1/x$ ha un punto di singolarità di seconda specie per $x=0$, non essendo lì definita.
potreste spiegarmi meglio, ci sto capendo poco. mi fate esempi di punti di discontinuità?
è molto chiaro. sarebbe interessante a questo punto raccoglierle tutte queste inesattezze, io ci sono finito per caso per esempio.
comunque mi sfugge il perchè di questa differenza. a livello intuitivo la discontinuità di una funzione la si riscontra sull'interruzione del suo grafico ed effettivamente in presenza di asintoti il grafico è "discontinuo". includere questi casi tra le discontinuità non nuoce a nesssuna cosa, quindi perchè escluderli?
comunque mi sfugge il perchè di questa differenza. a livello intuitivo la discontinuità di una funzione la si riscontra sull'interruzione del suo grafico ed effettivamente in presenza di asintoti il grafico è "discontinuo". includere questi casi tra le discontinuità non nuoce a nesssuna cosa, quindi perchè escluderli?
"TeM":
In ogni modo, secondo me, quello che devi imprimere per bene in testa è che anche in matematica le cose non sono
sempre standardizzate, il tutto dipende dalle definizioni a cui si fa riferimento
ma alla fine è proprio quello che intendevo dire quando ho detto:
"lasy":
a livello intuitivo la discontinuità di una funzione la si riscontra sull'interruzione del suo grafico ed effettivamente in presenza di asintoti il grafico è "discontinuo". includere questi casi tra le discontinuità non nuoce a nesssuna cosa, quindi perchè escluderli?
si tratta solo di una questione di forma, perchè in sostanza la "discontinuità" c'è.
Premesso che anche ma soprattutto in matematica la forma è sostanza, cosa significa " la discontinuità c'è" ?
È una tua "sensazione" ma quando usi le parole nel significato "matematico" non puoi interpretarle a tuo "sentimento" ...
Già il fatto di discutere se una funzione possiede o meno una certa proprietà dove la funzione NON è definita mi lascia perplesso (se lì non esiste che senso ha parlare di continuità o di iniettività o di derivabilità o ...) ma se fosse come dici tu, per esempio, allora la funzione $f(x)=log(x)$ è discontinua in $x<0$ ... non mi pare una grande idea (e neppure innocua) oppure prendi la funzione $f(x)\ {(0\ \text(se)\ x in QQ),(1\ \text(se)\ x in RR\\QQ):}$, è discontinua dovunque ma a "sensazione" è continua dovunque ...
È una tua "sensazione" ma quando usi le parole nel significato "matematico" non puoi interpretarle a tuo "sentimento" ...
Già il fatto di discutere se una funzione possiede o meno una certa proprietà dove la funzione NON è definita mi lascia perplesso (se lì non esiste che senso ha parlare di continuità o di iniettività o di derivabilità o ...) ma se fosse come dici tu, per esempio, allora la funzione $f(x)=log(x)$ è discontinua in $x<0$ ... non mi pare una grande idea (e neppure innocua) oppure prendi la funzione $f(x)\ {(0\ \text(se)\ x in QQ),(1\ \text(se)\ x in RR\\QQ):}$, è discontinua dovunque ma a "sensazione" è continua dovunque ...
"axpgn":
Premesso che anche ma soprattutto in matematica la forma è sostanza
formalmente questa frase non ha molto senso, però capisco cosa vuoi dire
ho capito che formalmente non ha senso parlare di discontinuità in un punto se in quel punto la funzione non è definita, ma quello che dico io è che bisogna pur dire in qualche modo che il grafico si spezza.
poi, quando dico "la discontinuità c'è" stavo soltanto riprendendo le parole di Tem:
"TeM":
Se ci si limita ad osservare il grafico di \(f\), sono d'accordo con te che sia nel caso di un asintoto verticale che di un punto
di discontinuità occorra staccare la matita dal foglio per proseguire con il tracciamento dello stesso, per questo si parla
anche di "discontinuità asintotiche" e "punti di discontinuità".
non ho mai parlato di "sentimento", ma della necessità di descrivere qualcosa che si osserva. Tem stesso quando dice la matematica non è "standardizzata" sta mettendo in guardia dal formalismo fine a se stesso, almeno io capisco questo.
comunque grazie, è una cosa che non avevo mai preso in considerazione. Tem dice che faremmo notte a sapere quanti altri errori si fanno alle superiori, io continuo ad esserne curioso...
"lasy":
[quote="axpgn"]Premesso che anche ma soprattutto in matematica la forma è sostanza
formalmente questa frase non ha molto senso, però capisco cosa vuoi dire
[/quote]
Finché non "formalizzi" l'idea che hai in testa, non rimane che un'idea, difficile da condividere e foriera di confusione ed errori ... per questo mi stupisco che avendo una ben determinata definizione di continuità tu la voglia "destrutturare" in ragione di una maggiore chiarezza ... una contraddizione, a mio parere ...
"lasy":
... ma quello che dico io è che bisogna pur dire in qualche modo che il grafico si spezza.
Ma questo è semplice: dove la funzione non è definita, il grafico non c'è ...
"lasy":
... Tem stesso quando dice la matematica non è "standardizzata" sta mettendo in guardia dal formalismo fine a se stesso, almeno io capisco questo.
Siamo tutti d'accordo su questo, il problema sta nel decidere cosa sia "un formalismo fine a se stesso" ...
Lo decido io perché "mi sembra" che non sia necessario? Non mi pare una soluzione "giusta" ...
Cordialmente, Alex
per la cronaca anche al miur un buco nel dominio lo considerano discontinuità!!
guardate il secondo quesito della simulazione della seconda prova dell'anno scorso
http://questionariolsosa.miur.carloanti ... atica2.pdf
guardate il secondo quesito della simulazione della seconda prova dell'anno scorso
http://questionariolsosa.miur.carloanti ... atica2.pdf
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