Tetraedo in un cubo tagliato da una parallela alla base del
Tetraedo in un cubo tagliato da una parallela alla base del
da ANTONELLI » 07 giu 2012 15:33
Ho un cubo di lato$ a $e un Tetraedo avente come lato la diagonale della faccia del cubo . Il Tetraedo ha il vertice ovviamente coincidente con un vertice del cubo ed è inserito al suo interno. Dopo aver trovato sia il Volume del Tetraedo :
$1/12l^3 sqrt2$dove in questo caso il lato è $asqrt2$ mi si chiede di trovare il Volume del Parallelepipedo ottenuto da un piano parallelo alla base del Cubo che decurta nel suo spigolo una piccola parte parte di Tetraedo . In sostanza si tratta di togliere al Volume del Parallelepipedo $a^2x$ quella piccola parte di Tetraedo sezionata dal piano parallelo.
L'altezza del piano che taglia il Cubo ed il Tetraedo è$ x$ . Si tratta appunto di trovare questo pezzo di Tetraedo e toglierlo dal Parallelepipedo.
In sostanza si tratta poi di trovare il lato del Tetraedo tagliato. Perchè avendo quel dato ritengo si possa poi applicare al nuovo Tetraedo il Volume con la Formula nota.
Ebbene io riterrei che il lato del Tetraedo tagliato sia $xsqrt2$ , ma evidentemente no. Infatti il risultato di quel volume torna $1/6x^3$ mentre invece ottengo $1/3x^3$.
Dove sto sbagliando?
Grazie
da ANTONELLI » 07 giu 2012 15:33
Ho un cubo di lato$ a $e un Tetraedo avente come lato la diagonale della faccia del cubo . Il Tetraedo ha il vertice ovviamente coincidente con un vertice del cubo ed è inserito al suo interno. Dopo aver trovato sia il Volume del Tetraedo :
$1/12l^3 sqrt2$dove in questo caso il lato è $asqrt2$ mi si chiede di trovare il Volume del Parallelepipedo ottenuto da un piano parallelo alla base del Cubo che decurta nel suo spigolo una piccola parte parte di Tetraedo . In sostanza si tratta di togliere al Volume del Parallelepipedo $a^2x$ quella piccola parte di Tetraedo sezionata dal piano parallelo.
L'altezza del piano che taglia il Cubo ed il Tetraedo è$ x$ . Si tratta appunto di trovare questo pezzo di Tetraedo e toglierlo dal Parallelepipedo.
In sostanza si tratta poi di trovare il lato del Tetraedo tagliato. Perchè avendo quel dato ritengo si possa poi applicare al nuovo Tetraedo il Volume con la Formula nota.
Ebbene io riterrei che il lato del Tetraedo tagliato sia $xsqrt2$ , ma evidentemente no. Infatti il risultato di quel volume torna $1/6x^3$ mentre invece ottengo $1/3x^3$.
Dove sto sbagliando?
Grazie
Risposte
Suppongo che con Tetraedo tu intenda un tetraedro regolare. Ho indicato con A, B, C, D i vertici di una base del cubo e con le stesse lettere, con apice, quelli della base opposta ed ho considerato il tetraedro BDA'C' che effettivamente è regolare ed ha il volume che dici.
Intersecando poi il cubo con un piano parallelo alla precedenti basi a distanza $BH=x$ non vedo alcun parallelepipedo a parte quello, ovvio, che si ottiene trascurando il tetraedro; al suo interno, vicino a BD, ci sono: 1) due piccoli tetraedri non regolari ed uguali fra loro, aventi un vertice rispettivamente in B e D e 2) una parte di spazio interna al tetraedro iniziale che assomiglia ad un parallelepipedo ma non ha le basi parallele.
Se quello che ti interessa calcolare è il volume di uno dei piccoli tetraedri di cui al punto 1) confermo il risultato $1/6x^3$; infatti, detta K l'intersezione del piano con BA', si ha $HK=BH=x$.
Spero di non aver detto stupidaggini perché il problema è difficile da visualizzare e concludo con una piccola osservazione: per quanto io rispetti la matematica, trovo piuttosto ridicolo usare la maiuscola per buona parte dei suoi termini.
Intersecando poi il cubo con un piano parallelo alla precedenti basi a distanza $BH=x$ non vedo alcun parallelepipedo a parte quello, ovvio, che si ottiene trascurando il tetraedro; al suo interno, vicino a BD, ci sono: 1) due piccoli tetraedri non regolari ed uguali fra loro, aventi un vertice rispettivamente in B e D e 2) una parte di spazio interna al tetraedro iniziale che assomiglia ad un parallelepipedo ma non ha le basi parallele.
Se quello che ti interessa calcolare è il volume di uno dei piccoli tetraedri di cui al punto 1) confermo il risultato $1/6x^3$; infatti, detta K l'intersezione del piano con BA', si ha $HK=BH=x$.
Spero di non aver detto stupidaggini perché il problema è difficile da visualizzare e concludo con una piccola osservazione: per quanto io rispetti la matematica, trovo piuttosto ridicolo usare la maiuscola per buona parte dei suoi termini.
vuol sapere il Volume dato dalla differenza tra il parallelepipedo frutto della sezione con un piano parallelo distante $x$ dalla base e la piccola parte di tetraedo che viene fuori dalla sezione . In pratica è un parallelepipedo smussato.
Il risultato è $a^2x -1/6 x^3$ . Invece io otterrei $a^2x - 1/3 x^3$ dove a è il lato del cubo.
Tu parli di 2 piccoli tetraedi , ma io ne vedrei solo uno. come li vedi?
Il risultato è $a^2x -1/6 x^3$ . Invece io otterrei $a^2x - 1/3 x^3$ dove a è il lato del cubo.
Tu parli di 2 piccoli tetraedi , ma io ne vedrei solo uno. come li vedi?
Entrambi hanno tre spigoli sul piano intersezione. Gli altri tre spigoli stanno su BB', BA', BC' per un tetraedro e su DA', DD', DC' per l'altro.
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