Test matematica per università
Buonasera a tutti!! siccome ho diverse cosucce da chiedervi, ho raggruppato tutto insieme sperando di aver fatto giusto!
Innanzitutto vi ringrazio perchè ho cominciato a ragionare sui problemi con la logica corretta
ma ho ancora qualcosa (molto 
) da perfezionare!
Sto facendo i problemi di alcuni test di ammissione all'università e vi elenco cosa sbaglio spesso e volentieri (mica tanto
)
1) Il polinomio $ (a^3-8)*(a^2-4) $ è divisibile per:
allora io ho eseguito i calcoli e ho visto che si annulla per $ a=2 $
come risposta ho messo $ (a-2)^2 $ ma senza cognizione di causa
come mai mi danno questa soluzione? perchè devo scomporre la moltiplicazione dei polinomi?
2) $ |x-1|=(x-1)^2 $ Allora io ho proceduto in questa maniera:
qui abbiamo un quadrato che è sempre $ >= 0 $ , quindi mi basta dire che $ |x-1| >= 0 $ quindi $ x>=1 $
la soluzione che mi danno è: solo per $ x=0 $, $ x=1 $, $ x=2 $ se sviluppo il quadrato e pongo il valore assoluto $ >=0 $ mi vengono fuori le soluzioni 2 e 1...e non capisco il perchè!
3) Nel piano cartesiano Oxy l’insieme dei punti soddisfacenti l’equazione $ (x-2y+1)^2+(x+y-2)^2 = 0 $ è rappresentato da:
Nada de nada...la soluzione del libro è il punto $ (1,1) $ e non saprei nemmeno cosa fare qui...
4) Ultimo quesito: non riesco a riconoscere se si trattano di elissi, parabole, cerchi. So solo le formule basi, ma quando mi pongono davanti certe equazioni non le so riconoscere. C'è un sistema che usate voi?
Vi ringrazio ancora una volta!!
Innanzitutto vi ringrazio perchè ho cominciato a ragionare sui problemi con la logica corretta
ma ho ancora qualcosa (molto ) da perfezionare!Sto facendo i problemi di alcuni test di ammissione all'università e vi elenco cosa sbaglio spesso e volentieri (mica tanto
)1) Il polinomio $ (a^3-8)*(a^2-4) $ è divisibile per:
allora io ho eseguito i calcoli e ho visto che si annulla per $ a=2 $
come risposta ho messo $ (a-2)^2 $ ma senza cognizione di causa
come mai mi danno questa soluzione? perchè devo scomporre la moltiplicazione dei polinomi?2) $ |x-1|=(x-1)^2 $ Allora io ho proceduto in questa maniera:
qui abbiamo un quadrato che è sempre $ >= 0 $ , quindi mi basta dire che $ |x-1| >= 0 $ quindi $ x>=1 $
la soluzione che mi danno è: solo per $ x=0 $, $ x=1 $, $ x=2 $ se sviluppo il quadrato e pongo il valore assoluto $ >=0 $ mi vengono fuori le soluzioni 2 e 1...e non capisco il perchè!
3) Nel piano cartesiano Oxy l’insieme dei punti soddisfacenti l’equazione $ (x-2y+1)^2+(x+y-2)^2 = 0 $ è rappresentato da:
Nada de nada...la soluzione del libro è il punto $ (1,1) $ e non saprei nemmeno cosa fare qui...
4) Ultimo quesito: non riesco a riconoscere se si trattano di elissi, parabole, cerchi. So solo le formule basi, ma quando mi pongono davanti certe equazioni non le so riconoscere. C'è un sistema che usate voi?
Vi ringrazio ancora una volta!!
Risposte
1. Devi scomporre i due fattori: il primo è una differenza di cubi mentre il secondo è una differenza di quadrati. \[(a-2)(a^2 + 4 + 2a)(a-2)(a+2)\] Come vedi il fattore $(a-2)^2$ compare due volte, quindi concludiamo che il polinomio è divisibile (tra le altre cose) per $(a-2)^2$.
Purtroppo noto alcuni errori che sembrano delle lacune concettuali (oppure distrazioni, non so!): posso consigliarti di pensarci un po' di più alle risposte e sugli esercizi e rivedere qualche concetto come il valore assoluto (o modulo che dir si voglia).
Lungi da me offendere - ci mancasse pure! - è un'opinione condivisibile o meno: il forum si propone di chiarire i dubbi.
Potresti provare a scomporlo in generale individuando tutti i suoi fattori. Sono 2 prodotti notevoli (differenza di cubi e differenza di quadrati) che si scompongono non troppo difficilmente a occhio o con Ruffini.
Scrivere "$|x-1| >= 0$ quindi $x \ge 1$" non credo che l'ideale.
Il modulo, di per sé, è una quantità sempre non negativa, studiare il segno dell'argomento serve solo per stabilire quando occorre cambiare segno all'interno per avere un riscontro non negativo.
Per es, nel tuo caso $|x-1|$ equivale a
- $x-1$ per $x \ge 1$
- $-(x-1)=1-x$ per $x \le 1$
però il risultato finale è sempre non negativo perché il modulo restituisce una quantità non negativa. (Modulo, valore assoluto, chiamalo come vuoi ).
Sviluppa e vedi che ti viene fuori... Magari è inelegante però è un punto di partenza...
Potresti postare un esempio, in genere però i metodi standard funzionano.
Prego, fai solo molta attenzione e non abbatterti subito di fronte ad un quesito.
EDIT
Ho visto dopo la risposta di minomic, ma comunque avevo scritto un post chilometrico e... lo lascio.
Lungi da me offendere - ci mancasse pure! - è un'opinione condivisibile o meno: il forum si propone di chiarire i dubbi.
"Sossella":
1) Il polinomio $ (a^3-8)*(a^2-4) $ è divisibile per:
allora io ho eseguito i calcoli e ho visto che si annulla per $ a=2 $
come risposta ho messo $ (a-2)^2 $ ma senza cognizione di causa
Potresti provare a scomporlo in generale individuando tutti i suoi fattori. Sono 2 prodotti notevoli (differenza di cubi e differenza di quadrati) che si scompongono non troppo difficilmente a occhio o con Ruffini.
"Sossella":
2) $ |x-1|=(x-1)^2 $ Allora io ho proceduto in questa maniera:
qui abbiamo un quadrato che è sempre $ >= 0 $ , quindi mi basta dire che $ |x-1| >= 0 $ quindi $ x>=1 $
la soluzione che mi danno è: solo per $ x=0 $, $ x=1 $, $ x=2 $ se sviluppo il quadrato e pongo il valore assoluto $ >=0 $ mi vengono fuori le soluzioni 2 e 1...e non capisco il perchè!
Scrivere "$|x-1| >= 0$ quindi $x \ge 1$" non credo che l'ideale.
Il modulo, di per sé, è una quantità sempre non negativa, studiare il segno dell'argomento serve solo per stabilire quando occorre cambiare segno all'interno per avere un riscontro non negativo.
Per es, nel tuo caso $|x-1|$ equivale a
- $x-1$ per $x \ge 1$
- $-(x-1)=1-x$ per $x \le 1$
però il risultato finale è sempre non negativo perché il modulo restituisce una quantità non negativa. (Modulo, valore assoluto, chiamalo come vuoi
)."Sossella":
3) Nel piano cartesiano Oxy l’insieme dei punti soddisfacenti l’equazione $ (x-2y+1)^2+(x+y-2)^2 = 0 $ è rappresentato da:
Nada de nada...la soluzione del libro è il punto $ (1,1) $ e non saprei nemmeno cosa fare qui...
Sviluppa e vedi che ti viene fuori... Magari è inelegante però è un punto di partenza...
"Sossella":
4) Ultimo quesito: non riesco a riconoscere se si trattano di elissi, parabole, cerchi. So solo le formule basi, ma quando mi pongono davanti certe equazioni non le so riconoscere. C'è un sistema che usate voi?
Potresti postare un esempio, in genere però i metodi standard funzionano.
"Sossella":
Vi ringrazio ancora una volta!!
Prego, fai solo molta attenzione e non abbatterti subito di fronte ad un quesito.
EDIT
Ho visto dopo la risposta di minomic, ma comunque avevo scritto un post chilometrico e... lo lascio.
2. Scrivere \[\left|x-1\right| \ge 0\] non serve a nulla perchè un valore assoluto è sempre maggiore-o-uguale di zero. Ripassiamo la definizione di valore assoluto: \[\left|x\right| = \begin{cases}x, &x \ge 0\\ -x, &x < 0\end{cases}\] Quindi nel nostro esercizio abbiamo due casi: se $x >= 1$ l'equazione da risolvere è \[x-1 = (x-1)^2\] Se invece $x < 1$ l'equazione è \[1-x = (x-1)^2\] Alla fine si fa l'UNIONE delle soluzioni trovate.
3. L'approccio proposto da zero87 funziona (ovviamente 
) ma possiamo ragionare su una domanda: Come fa una somma di quadrati ad essere nulla?
) ma possiamo ragionare su una domanda: Come fa una somma di quadrati ad essere nulla?
"minomic":
3. L'approccio proposto da zero87 funziona (ovviamente
Non darei per scontato che un mio approccio funzioni.
... comunque il tuo è decisamente migliore e più semplice!
Per l'esercizio 2 consiglio di ricordare che elevare al quadrato un numero è lo stesso che elevare il suo valore assoluto. Ponendo $u=|x-1|$ l'equazione diventa quindi
$u=u^2$
con soluzioni $u_1=0,u_2=1$. Perciò le soluzioni sono date da
$|x-1|=0->x=1$ e
$|x-1|=1->x-1=+-1->(x=0)vv(x=2)$
Per la domanda 4, la risposta completa di solito viene studiata solo a livello universitario, quindi mi limito alla risposte parziali date a livello di superiore.
Devi guardare i soli termini di secondo grado, cioè quelli con $x^2,xy,y^2$ ed hai i seguenti casi:
- se c'è il termine con $xy$, l'unico caso studiato alle superiori è che manchino i termini con $x^2, y^2$: allora la curva è un'iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi cartesiani;
- se quel termine non c'è, distingui fra
- - c'è uno solo fra $x^2,y^2$: è una parabola. Se manca $y^2$, il suo asse è parallelo all'asse $y$ e analoga;
- - ci sono entrambi; allora distingui fra
- - - hanno segno diverso: è un'iperbole (equilatera se hanno coefficienti uguali e contrari);
- - - hanno segno uguale: è un'ellisse. Se poi hanno anche lo stesso coefficiente, è una circonferenza.
Ho trascurato i casi di coniche degeneri; limitiamoci all'essenziale.
$u=u^2$
con soluzioni $u_1=0,u_2=1$. Perciò le soluzioni sono date da
$|x-1|=0->x=1$ e
$|x-1|=1->x-1=+-1->(x=0)vv(x=2)$
Per la domanda 4, la risposta completa di solito viene studiata solo a livello universitario, quindi mi limito alla risposte parziali date a livello di superiore.
Devi guardare i soli termini di secondo grado, cioè quelli con $x^2,xy,y^2$ ed hai i seguenti casi:
- se c'è il termine con $xy$, l'unico caso studiato alle superiori è che manchino i termini con $x^2, y^2$: allora la curva è un'iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi cartesiani;
- se quel termine non c'è, distingui fra
- - c'è uno solo fra $x^2,y^2$: è una parabola. Se manca $y^2$, il suo asse è parallelo all'asse $y$ e analoga;
- - ci sono entrambi; allora distingui fra
- - - hanno segno diverso: è un'iperbole (equilatera se hanno coefficienti uguali e contrari);
- - - hanno segno uguale: è un'ellisse. Se poi hanno anche lo stesso coefficiente, è una circonferenza.
Ho trascurato i casi di coniche degeneri; limitiamoci all'essenziale.
Vi ringrazio per le risposta che mi avete scritto, e mi scuso se vi faccio domande scontate...ma sono 4 anni che non prendo in mano un libro di matematica perchè lavoro, e mi sono iscritto ad ingegneria a tempo parziale...quindi mi ci vorrà un pò di tempo per riprendere familiarità con gli argomenti
comunque vi ringrazio ancora una volta
comunque vi ringrazio ancora una volta
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