Tesina importante

[bimbastilosa93]

Tutto sugli integrali indefiniti devo fare questo argomento per la tesina potete aiutarmi per favore???

[bimbozza]

Tutto...ci sono un sacco di cose da dire e, sicuramente, tutto ciò che ti potrei dire lo puoi trovare anche sul tuo libro di matematica...

[bimbastilosa93]

ho perso il libro e su internet è difficile se no nn ero qui a chiedere aiuto....

[bimbozza]

Se non hai il libro ci sono altre alternative:
- puoi chiedere ad un compagno di prestartelo...
- puoi cercare in biblioteca
- puoi cercare (meglio) in internet...qualche spiegazione fatta bene si trova...

Dico questo, non per essere scortese, ma perchè l'argomento è un po' troppo vasto per essere spiegato qui...

[bimbastilosa93]

a me serve la definizione di integrale indefinito e che cos'è un integrale... il resto c'è l'ho

[bimbozza]

Ti dò un'abbozzo...magari aggiustalo te come credi più oppotuno.

Siano I un intervallo di R e f,F : I->R con F derivabile in I dove f è ovviamente la funzione di cui bisogna calcolare l'integrale e F è la primitiva, (quindi per ogni x appartenente ad I vale F'(x)=f(x) ).

Ogni funzione che ammette una primitiva, ha in realtà infinite primitive che si distinguono di una costante c. L'insieme di tutte le primitive della funzione nell'intervallo considerato si chiama integrale indefinito e si scrive

[math] \int f(x)dx[/math]

. Per quanto detto in precedenza questo integrale ha soluzione

[math]F(x)+c[/math]

.

In altri termini, supposta nota la definizione di derivata, possiamo anche scrivere

[math] \int f'(x)dx=f(x)+c[/math]

.


Spero sia abbastanza chiaro...

[bimbastilosa93]

sisi...Grazie....

Aggiunto 1 secondo più tardi:

sisi...Grazie....

[ciampax]

Cerchiamo di mettere un po' d'ordine.

DEFINIZIONE: Sia

[math]f:A\rightarrow\mathbb{R}[/math]

una funzione continua su

[math]A[/math]

. Sia

[math]F:A'\rightarrow\mathbb{R}[/math]

(dove

[math]A\subseteq A'[/math]

) una funzione derivabile su

[math]A'[/math]

e tale che

[math]F'(x)=f(x),\ \forall\ x\in A[/math]

. Allora la funzione

[math]F(x)[/math]

si dice primitiva di

[math]f[/math]

relativamente ad

[math]A[/math]

.

Consideriamo ora l'insieme seguente

[math]\{F:A'\supseteq A\rightarrow\mathbb{R}\ :\ F'(x)=f(x)\ \forall\ x\in A\}[/math]

Tale insieme viene indicato, simbolicamente, come

[math]\int f(x)\ dx[/math]

e viene detto integrale definito di

[math]f(x)[/math]

OSSERVAZIONE: a differenza di quello che normalmente viene detto, l'integrale indefinito non è una funzione, bensì un insieme (in generale infinito) di funzioni.

Supponiamo ora che

[math]F,G[/math]

siano due primitive della funzione

[math]f[/math]

: questo implica che

[math]F'(x)=G'(x)=f(x)\ \forall\ x\in A[/math]

. Sia ora

[math]A[/math]

un insieme connesso, e cioè un intervallo: allora si ha che, per ogni

[math]x\in A[/math]

[math](G-F)'(x)=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0[/math]

pertanto la funzione

[math]G-F[/math]

risulta costante su

[math]A[/math]

(corollario al Teorema di Lagrange/del valor medio su insiemi connessi) e pertanto possimao scrivere

[math]G(x)=F(x)+c,\qquad c\in\mathbb{R}[/math]

Possiamo allora affermare che "Tutte le primitive di una data funzione si differenziano per una costante arbitraria" o in modo equivalente che "La primitiva di una funzione è unica a meno di una costante additiva arbitraria".

Da quanto detto, possiamo scrivere in forma simbolica che

[math]\int f(x)\ dx=F(x)+c[/math]

dove

[math]F'(x)=f(x)[/math]

Supponiamo ora che la funzione

[math]f[/math]

risulti anche derivabile su tutto l'insieme

[math]A[/math]

: allora ne segue che

[math]f[/math]

è primitiva della funzione

[math]f'[/math]

e pertanto, dalla relazione scritta in precedenza possiamo ricavare la seguente "formula di calcolo per gli integrali immediati"

[math]\int f'(x)\ dx=f(x)+c,\qquad c\in\mathbb{R}[/math]

Visto che ci sarebbe ancora un po' da dire (le regole di calcolo elementari, l'integrazione per parti e quella per sostituzione) vorrei sapere cos'altro ti serve, grazie.