Terne Pitagoriche
CONSIDERAZION I SULL’ULTIMO TEOREMA DI FERMAT
Se si prendono in considerazioni le dieci combinazioni di (C 5,2) si ottengono le seguenti coppie:
1,2 (coppia numero 1) 1,3 (coppia numero 2) 1,4 (coppia numero 3)
1,5 (coppia numero 4) 2,3 (coppia numero 5) 2,4 (coppia numero 6)
2,5 (coppia numero 7) 3,4 (coppia numero 8) 3,5 (coppia numero 9)
4,5 (coppia numero 10)
Elevando i due termini di ogni singola coppia al quadrato, che possiamo indicare con $a^2$ e $b^2$ , si evince già dalla ottava coppia che dalla somma di $a^2 + b^2 = c^2$ (dove a, b, c sono numeri naturali), si ottengono TERNE PITAGORICHE.
La condizione necessaria e sufficiente per ottenere tali terne, è che la radice quadrata di $c^2- 2*a*b$ sia uguale ad un numero intero.
Es: Ponendo $a=3$ e $b=4$ si ha:
$3 + 4 = 7$ che elevata al quadrato fa $(3 + 4)^2 = 7^2$ sviluppando si ha
$3^2 + 4^2 +2*3*4 = 49$
$3^2 + 4^2 = 49 – 2*3*4$
$9 + 16 = 49 -2*3*4$
$9 +16 =25$
In generale , se la radice quadrata di $c^2-2*a*b$ è un numero intero
(come nel caso di $49-2*3*4$) significa che si è verificata la condizione necessaria e sufficiente per ottenere le TERNE suddette..
Purtroppo volendo fare lo stesso percorso per elevare $a + b = c$ al cubo si dovrebbero anche qui fare delle prove per vedere se la radice cubica
di $c^3 – 3*a*b*(a + b)$ è dà un numero intero.
Tale percorso non mi sembra per niente agevole perché pur provando con parecchie coppie di numeri, la condizione necessaria non si verifica.
Quindi la mia ipotesi, per avere un quadro completo, è quella di partire dalle combinazioni di (C m,2) con m appartenente ad (N).
Da queste infinite combinazioni si possono estrapolare tutte quelle coppie di numeri che elevate al quadrato e sommate danno sempre una potenza con base intera.
In questo modo si possono rappresentare tutte le TERNE PITAGORICHE con $a^2 +b^2 = c^2$ (dove $a ,b , c$ sono interi).
La considerazione finale è che per passare da $a^2 +b^2 = c^2$ alla terza potenza a ed avere la certezza che
la somma $c^2$ passando a $c^3$ rimanga una potenza con base intera, bisognerebbe moltiplicare per $c$
anche $a^2$ e $b^2$ , ma tale risultato è assurdo perché contrario all’assunto che $a^2*c$ e $b^2*c$
sono delle potenze.
Pertanto non si può passare dalla seconda potenza alla terza, ma neanche dalla terza alla successiva, datosi che
la terna $a^2*c$ e $b^2*c$ è già compromessa.
Domanda! Può quest’ultima considerazione essere L’ultimo teorema di FERMAT ?
Grazie per l’attenzione.
Il responso (negativo o positivo) mi sarà di conforto essendo io solo un dilettante.
Se si prendono in considerazioni le dieci combinazioni di (C 5,2) si ottengono le seguenti coppie:
1,2 (coppia numero 1) 1,3 (coppia numero 2) 1,4 (coppia numero 3)
1,5 (coppia numero 4) 2,3 (coppia numero 5) 2,4 (coppia numero 6)
2,5 (coppia numero 7) 3,4 (coppia numero 8) 3,5 (coppia numero 9)
4,5 (coppia numero 10)
Elevando i due termini di ogni singola coppia al quadrato, che possiamo indicare con $a^2$ e $b^2$ , si evince già dalla ottava coppia che dalla somma di $a^2 + b^2 = c^2$ (dove a, b, c sono numeri naturali), si ottengono TERNE PITAGORICHE.
La condizione necessaria e sufficiente per ottenere tali terne, è che la radice quadrata di $c^2- 2*a*b$ sia uguale ad un numero intero.
Es: Ponendo $a=3$ e $b=4$ si ha:
$3 + 4 = 7$ che elevata al quadrato fa $(3 + 4)^2 = 7^2$ sviluppando si ha
$3^2 + 4^2 +2*3*4 = 49$
$3^2 + 4^2 = 49 – 2*3*4$
$9 + 16 = 49 -2*3*4$
$9 +16 =25$
In generale , se la radice quadrata di $c^2-2*a*b$ è un numero intero
(come nel caso di $49-2*3*4$) significa che si è verificata la condizione necessaria e sufficiente per ottenere le TERNE suddette..
Purtroppo volendo fare lo stesso percorso per elevare $a + b = c$ al cubo si dovrebbero anche qui fare delle prove per vedere se la radice cubica
di $c^3 – 3*a*b*(a + b)$ è dà un numero intero.
Tale percorso non mi sembra per niente agevole perché pur provando con parecchie coppie di numeri, la condizione necessaria non si verifica.
Quindi la mia ipotesi, per avere un quadro completo, è quella di partire dalle combinazioni di (C m,2) con m appartenente ad (N).
Da queste infinite combinazioni si possono estrapolare tutte quelle coppie di numeri che elevate al quadrato e sommate danno sempre una potenza con base intera.
In questo modo si possono rappresentare tutte le TERNE PITAGORICHE con $a^2 +b^2 = c^2$ (dove $a ,b , c$ sono interi).
La considerazione finale è che per passare da $a^2 +b^2 = c^2$ alla terza potenza a ed avere la certezza che
la somma $c^2$ passando a $c^3$ rimanga una potenza con base intera, bisognerebbe moltiplicare per $c$
anche $a^2$ e $b^2$ , ma tale risultato è assurdo perché contrario all’assunto che $a^2*c$ e $b^2*c$
sono delle potenze.
Pertanto non si può passare dalla seconda potenza alla terza, ma neanche dalla terza alla successiva, datosi che
la terna $a^2*c$ e $b^2*c$ è già compromessa.
Domanda! Può quest’ultima considerazione essere L’ultimo teorema di FERMAT ?
Grazie per l’attenzione.
Il responso (negativo o positivo) mi sarà di conforto essendo io solo un dilettante.
Risposte
Ciao. Ho trovato carino quello che hai scritto... C'è solo un problema: non capisco cosa stai chiedendo e a cosa serve quella formula. Io immagino a trovare terne pitagoriche...dimmi tu.
Scusa se non ho capito
Scusa se non ho capito
Ciao, in effetti, all'inizio, non ho chiarito bene quale era il problema.
Non essendo io un matematico ma solo un appassionato e, non essendo stato in grado di trovare ancora nulla di simile,
mi chiedevo se la formula esistesse già e se le mie considerazioni fossero giuste.
Lo scopo della formula è quello di scrivere terne con basi intere e perfette dando alla lettera 'n' un valore intero positivo
e che da nessuna di queste infinite terne è possibile passare alla potenza successiva.
Non essendo io un matematico ma solo un appassionato e, non essendo stato in grado di trovare ancora nulla di simile,
mi chiedevo se la formula esistesse già e se le mie considerazioni fossero giuste.
Lo scopo della formula è quello di scrivere terne con basi intere e perfette dando alla lettera 'n' un valore intero positivo
e che da nessuna di queste infinite terne è possibile passare alla potenza successiva.
Ciao.
Non so se questa formula è già conosciuta.
Che io sappia ne esiste un'altra.
Se ti interessa te la scrivo.
Non so se questa formula è già conosciuta.
Che io sappia ne esiste un'altra.
Se ti interessa te la scrivo.
Certamente, se ti va, scrivimela che me la guardo un po.
Grazie.
Grazie.
Si scelgono due numeri qualsiasi (meglio piccoli, altrimenti i risultati sono esorbitanti....): x e y.
Dopodichè
$x^2-y^2=m$
$x^2+y^2=n$
$2xy=p$
A questo punto $m,n,p$ formano la terna cercata
Dopodichè
$x^2-y^2=m$
$x^2+y^2=n$
$2xy=p$
A questo punto $m,n,p$ formano la terna cercata
"superpippone":
$x^2-y^2=m$
$x^2+y^2=n$
$2xy=p$
A questo punto $m,n,p$ formano la terna cercata
Esatto, e la dimostrazione è anche piuttosto semplice:
\[
m^2 = \left(x^2-y^2\right)^2 = x^4+y^4-2x^2y^2 \\
p^2 = \left(2xy\right)^2 = 4x^2y^2 \\
m^2+p^2 = x^4+y^4-2x^2y^2+4x^2y^2 = x^4+y^4+2x^2y^2 = \left(x^2+y^2\right)^2 = n^2
\]
Per completezza aggiungo che se $m,p,n$ formano una terna pitagorica e $k$ è un naturale qualsiasi, anche $km,kp,kn$ è una terna pitagorica, come si verifica facilmente. Di solito si cercano solo le terne pitagoriche primitive, cioè tali che $MCD(m,p,n)=1$: sono tutte e sole quelle date dalle formule indicate con le condizioni che $x,y$ siano primi fra loro e non entrambi dispari (nonché, ovviamente, $x>y>0$).
Una domanda interessante ma che lascio ad altri è se la formula data da michele guarino (con eventuali limitazioni) fornisce tutte le terne pitagoriche primitive o solo alcune di esse.
Una domanda interessante ma che lascio ad altri è se la formula data da michele guarino (con eventuali limitazioni) fornisce tutte le terne pitagoriche primitive o solo alcune di esse.
"LA FORMULETTA": $(2n−1)^2+(2n^2−2n)^2=(2n^2−2n+1)^2$.
Innanzitutto, grazie Giammaria.
Le terne calcolabili con la formula che ho
proposto, comunque, sono infinite
e tutte calcolabili con una sola variabile: $n$.
La condizione è che $n$ sia positiva e >$1$.
Ora mi guardo le cose che mi hai mandato e, intanto, aspettiamo altri pareri.
Ciao
Innanzitutto, grazie Giammaria.
Le terne calcolabili con la formula che ho
proposto, comunque, sono infinite
e tutte calcolabili con una sola variabile: $n$.
La condizione è che $n$ sia positiva e >$1$.
Ora mi guardo le cose che mi hai mandato e, intanto, aspettiamo altri pareri.
Ciao
"giammaria":
Una domanda interessante ma che lascio ad altri è se la formula data da michele guarino (con eventuali limitazioni) fornisce tutte le terne pitagoriche primitive o solo alcune di esse.
La risposta è deducibile dalla terna $8, 15, 17$ che è primitiva, ma in cui il termine minore è pari e, perciò, non può essere generata dalla formula proposta da Michele.
Non capisco che cosa sia successo. Ho acceso il computer adesso e trovo un mio messaggio postato 10 minuti fa (per la cronaca sembra pubblicato tra 50', ma solo perché non ho aggiornato l'orologio all'ora legale, per la precisione il coda al messaggio compare la scritta
Ultimo bump di michele guarino effettuato il 27 gen 2016 18:10.
come abbia fatto michele guarino ad aggiornare un mio post di oltre un anno fa è un mistero.
Ultimo bump di michele guarino effettuato il 27 gen 2016 18:10.
come abbia fatto michele guarino ad aggiornare un mio post di oltre un anno fa è un mistero.
non vorrei dire ca**ate ma l'autore del post può fare BUMP ARGOMENTO e credo che funzioni in questo modo: sposta l'orario dell'ultimo messaggio all'ora in cui lui ha cliccato su bump, e quindi l'argomento risulta in alto nelle ricerche... non lo so,ma credo che funzioni così
Grazie. Credevo di aver fatto qualche diavoleria. Se è così, nessun problema.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo