Teoria: problema di Cauchy

[murizio]

Buongiorno a tutti. Non ricordo più come giustificare teoricamente un passaggio, e chiedo lumi qui. Mi scuso per la banalità della domanda.

Supponiamo ad esempio che io abbia un'equazione differenziale del tipo: y'+a(x)=f(x), con annesso problema di Cauchy y(c)=d, con c<0; a(x) e f(x) hanno come dominio x diverso da 0.

Ora, so che la soluzione del problema di Cauchy è definita solo nel più grande intorno della x che contiene c e in cui a ed f sono continue. Tale intorno qui sarebbe x<0. Come giustifico teoricamente questo fatto?

Grazie mille per l'eventuale risposta,
Maurizio

[gugo82]

Nel caso generale, questa proprietà viene fuori dal modo in cui sono costruiti i prolungamenti massimali delle soluzioni locali del PdC.
Nel tuo caso, in cui la EDO (se non hai sbagliato a riportare il testo) si risolve con il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, la giustificazione è ancora più immediata: la funzione integrale è definita solo su intervalli.

[murizio]

Grazie mille! Noto adesso di aver dimenticato una y: volevo scriver una EDO lineare del primo ordine nella sua forma più generale: y'+a(x)y=f(x), ma penso che le conclusioni siano le stesse. Grazie ancora!