Teorema sulla relaz tra altezze e mediane di un triangolo

[Newton_1372]

Si dovrebbe dimostrare che che in un triangolo qualsiasi la somma dei quadrati delle mediane è eguale a 3/4 della somma dei quadrati dei lati. Il libro propone di usare pitagora, cosa che ho fatto,ma dopo un pò mi ritrovo in calcoli complicati che non so come uscirne! Sono persuaso che la soluzione del dilemma mi sta dinanzi gli occhi, ma non riesco a vederla! Posto disegno
http://imageshack.us/photo/my-images/20 ... nebux.png/

TEOREMA
$AE^2+CD^2+BF^2=3/4 (AB^2+BC^2+AC^2)$

DIMOSTRAZIONE
$AE^2+CD^2+BF^2=AH_1^2+H_1 E^2+CH_2^2+H_2D^2+H_3B^2+FH_3^2$

So inoltre che
$H_1 E = (H_1 C+CE)^2=(H_1C+1/2 BC)^2$
$H_2 D^2=(H_2 D+DB)^2=(H_2 D-1/2 AB)^2$
$FH_3^2=(CH_3+FC)^2=(CH_3+1/2 AC)^2$

sviluppando i quadrati e sostituendo mi trovo
$AH_1^2+H_1 C^2+1/4 BC^2 + H_1CBC+CH_2^2+H_2D^2+1/4 AB^2-ABH_2D+H_3B^2+CH_3^2+1/4 AC^2+ACCH_3$
Posso raccogliere un $1/4(AB^2+BC^2+AC^2)$, il che mi sembra indubbiamente un buon segno. Ulteriori relazioni col teorema di pitagora mi fanno scoprire altri "lati". Il mio problema sono questi termini misti: $H_1CBC,ABH_2D$ et similia. Come posso arrivare alla tesi?

[chiaraotta1]

Esiste una relazione tra la lunghezza della mediana relativa a un lato e le misure dei 3 lati di un triangolo qualsiasi.
Precisamente, per esempio per la mediana relativa al lato $a$, è vero che $m_a^2 = 1/2 * (b^2 + c^2) - 1/4 * a^2$.
Per dimostrare la relazione consideriamo il triangolo $ABC$ con $M$ punto medio di $BC$. Applicando il teorema di Carnot ai due triangoli $ACM$ e $ABM$ si può dire che
$b^2 = m_a^2 + (a/2)^2 - 2 * m_a * a/2 * cos(A\hatMC)$
e
$c^2 = m_a^2 + (a/2)^2 - 2 * m_a * a/2 * cos(A\hatMB) = m_a^2 + (a/2)^2 + 2 * m_a * a/2 * cos(A\hatMC)$.
Sommando membro a membro le due uguaglianze si ottiene
$b^2 + c^2 = m_a^2 + (a/2)^2 - 2 * m_a * a/2 * cos(A\hatMC) + m_a^2 + (a/2)^2 + 2 * m_a * a/2 * cos(A\hatMC) = 2 * m_a^2 + 1/2 * a^2$
da cui
$m_a^2 = 1/2 * (b^2 + c^2) - 1/4 * a^2$
e, analogamente,
$m_b^2 = 1/2 * (a^2 + c^2) - 1/4 * b^2$
$m_c^2 = 1/2 * (a^2 + b^2) - 1/4 * c^2$.
Sommando membro a membro le tre uguaglianze si ottiene
$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = 1/2 * (b^2 + c^2) - 1/4 * a^2 + 1/2 * (a^2 + c^2) - 1/4 * b^2 + 1/2 * (a^2 + b^2) - 1/4 * c^2 =$
$1/4 * (2*b^2 + 2*c^2 - a^2 + 2*a^2 + 2*c^2 - b^2 + 2*a^2 + 2 *b^2 - c^2) =$
$1/4 * (3*b^2 + 3*c^2 + 3*a^2) = 3/4 * (a^2 + b^2 + c^2)$.