Teorema fondamentale algebra caso reale

[billytalentitalianfan]

Buongiorno!

E' un'affermazione vera quella secondo cui dato un polinomio $p(x)$ di grado $n>0$ , questo si fattorizza in un solo modo come prodotto di polinomi di grado $g<=2$ ?
Come è dimostrabile?

[dissonance]

C'è da fare una precisazione: la fattorizzazione non è unica ma essenzialmente unica. Ad esempio:
$x^2-1=(x-1)(x+1)=6[(1/2x-1/2)*(1/3x+1/3)]$
apparentemente sono due fattorizzazioni diverse, ma è solo fumo: i singoli fattori differiscono solo per una costante (moltiplicativa).

Una maniera di aggirare questa difficoltà tecnica è considerare solo polinomi monici, ovvero con coefficiente direttivo (quello del termine di grado massimo) pari a $1$. Così la tua proposizione diventa vera, la riscrivo:

Ogni polinomio monico reale $p(x)$ si fattorizza in maniera unica come prodotto di polinomi monici di grado $<=2$.

La dimostrazione che conosco io si basa sulla versione complessa del teor. fondamentale dell'algebra e sulla seguente osservazione:
se $p(x)$ è un polinomio reale e $z$ è un numero complesso tale che $p(z)=0$, allora anche $p(\bar{z})=0$ ($\bar{z}$ indica il coniugato complesso di $z$).

Pensaci un po', poi se vuoi ne riparliamo.