Teorema di weierstrass (dim)
Teorema: una funzione continua in un insieme limitato e chiuso T assume in T sempre una massimo e un minimo assoluti.
Chiedo un aiuto perché non riesco a capire l'inizio della dimostrazione...
Dice: "supponiamo per assurdo che f(x) non raggiunga nell'insieme chiuso T l'estremo superiore M..."
L'esistenza di questo estremo superiore M dell'insieme immagine f(T) si può assumere in base a qualche altro teorema o considerazione? Perché, nell'enunciato, l'ipotesi è che è il dominio ad essere limitato, giusto?
Grazie! 'notte
Chiedo un aiuto perché non riesco a capire l'inizio della dimostrazione...
Dice: "supponiamo per assurdo che f(x) non raggiunga nell'insieme chiuso T l'estremo superiore M..."
L'esistenza di questo estremo superiore M dell'insieme immagine f(T) si può assumere in base a qualche altro teorema o considerazione? Perché, nell'enunciato, l'ipotesi è che è il dominio ad essere limitato, giusto?
Grazie! 'notte
Risposte
Te lo garantisce il teorema di esistenza dell'estremo superiore, conseguenza dell'assioma di separazione che caratterizza (insieme ad altri assiomi) l'insieme $RR$ dei numeri reali.
Teorema: Ogni sottoinsieme non vuoto e superiormente limitato (un insieme è superiormente limitato se ammette maggioranti) di numeri reali ammette un estremo superiore.
Teorema: Ogni sottoinsieme non vuoto e superiormente limitato (un insieme è superiormente limitato se ammette maggioranti) di numeri reali ammette un estremo superiore.
"jitter":
Teorema: una funzione continua in un insieme limitato e chiuso T assume in T sempre una massimo e un minimo assoluti.
Chiedo un aiuto perché non riesco a capire l'inizio della dimostrazione...
Dice: "supponiamo per assurdo che f(x) non raggiunga nell'insieme chiuso T l'estremo superiore M..."
L'esistenza di questo estremo superiore M dell'insieme immagine f(T) si può assumere in base a qualche altro teorema o considerazione? Perché, nell'enunciato, l'ipotesi è che è il dominio ad essere limitato, giusto?
Grazie! 'notte
C'è un teorema che ti dice se una funzione è continua su un intervallo limitato e chiuso a b essa è ivi limitata.
La dimostrazione è fatta considerando intervalli incapsulati e procedendo per assurdo.
Se non mi sbaglio c'è un corrollario ,derivante da quello ricordato da Seneca,che li tratta.
"Omar93":
C'è un teorema che ti dice se una funzione è continua su un intervallo limitato e chiuso a b essa è ivi limitata.
La dimostrazione è fatta considerando intervalli incapsulati e procedendo per assurdo.
Mmmh.. Il teorema che citi tu l'ho studiato come corollario del teorema di compattezza:
Corollario: $f : K -> RR$ , $K subseteq RR$ , $f$ continua.
$K$ chiuso e limitato $Rightarrow$ $f(K)$ chiuso e limitato.
Infatti in $RR$ (con la distanza euclidea) si può scrivere:
$K$ chiuso e limitato $hArr$ $K$ compatto
La $f$ è continua, quindi $K$ compatto $Rightarrow$ $f(K)$ compatto (teorema di compattezza)
$f(K)$ compatto $hArr$ $f(K)$ chiuso e limitato .
Il tuo dubbio è legittimo. Come ti hanno detto l'estremo superiore esiste sempre, ma in teoria potrebbe anche essere $+oo$. Nella dimostrazione che hai lo considerano a priori un numero? Ad esempio la dimostrazione di Wikipedia mi sembra incompleta sotto questo punto di vista: tratta l'estemo superiore come un numero, dando per scontato che la funzione sia limitata superiormente (link).
La dimostrazione che ho avuto io a lezione invece era valida in ogni caso, ma si appoggiava a delle basi di topologia della retta reale. Se vuoi qui (pag. 27) invece c'è una dimostrazione completa che non utilizza strumenti di quel tipo e arriva a escludere solo in seguito che il sup possa essere $+oo$.
La dimostrazione che ho avuto io a lezione invece era valida in ogni caso, ma si appoggiava a delle basi di topologia della retta reale. Se vuoi qui (pag. 27) invece c'è una dimostrazione completa che non utilizza strumenti di quel tipo e arriva a escludere solo in seguito che il sup possa essere $+oo$.
Mannaggia, conoscenze di topologia non ne ho... e devo anche rivedere l'assioma di separazione!
Nel frattempo stavo pensando: si può dire che, se $ f(x) $ non ha (per assurdo) estremo superiore nel suo insieme immagine, allora esiste un $ x_0 $ nell'intervallo $ [a, b] $ tale che
$ lim_(x -> x_0) f(x) = oo $ ?
Perché, in quel caso, uno potrebbe dire che non è possibile perchè abbiamo supposto la funzione continua, cioè $ im_(x -> x_0) f(x) = f(x_0) $
Il fatto è che mi sa che questa cosa del limite non va bene, anche perché l'insieme illimitato l'hanno definito indipendentemente (e prima) del concetto di limite.
x Yellow: sì, l'estremo superiore lo tratta come un numero, lo chiama M.
Un'altra cosa, dice "una Teorema: una funzione continua in un insieme limitato e chiuso T assume in T sempre una massimo e un minimo assoluti". Subito sotto: "Il teorema afferma in sostanza che la f(x) è limitata in T" e quindi ammette in T l'estremo inferiore e superiore". Solo che non c'è nessuna spiegazione in mezzo sul fatto che, "prima" di avere massimo e minimo, è limitata.
Quel materiale che hai linkato è utilissimo! Me lo scarico, anche se per la dimostrazione per Weierstrass devo leggere prima le successioni, che le ho saltate perché non mi piacevano molto, ma ora bisogna che le fò.
Nel frattempo stavo pensando: si può dire che, se $ f(x) $ non ha (per assurdo) estremo superiore nel suo insieme immagine, allora esiste un $ x_0 $ nell'intervallo $ [a, b] $ tale che
$ lim_(x -> x_0) f(x) = oo $ ?
Perché, in quel caso, uno potrebbe dire che non è possibile perchè abbiamo supposto la funzione continua, cioè $ im_(x -> x_0) f(x) = f(x_0) $
Il fatto è che mi sa che questa cosa del limite non va bene, anche perché l'insieme illimitato l'hanno definito indipendentemente (e prima) del concetto di limite.
x Yellow: sì, l'estremo superiore lo tratta come un numero, lo chiama M.
Un'altra cosa, dice "una Teorema: una funzione continua in un insieme limitato e chiuso T assume in T sempre una massimo e un minimo assoluti". Subito sotto: "Il teorema afferma in sostanza che la f(x) è limitata in T" e quindi ammette in T l'estremo inferiore e superiore". Solo che non c'è nessuna spiegazione in mezzo sul fatto che, "prima" di avere massimo e minimo, è limitata.
Quel materiale che hai linkato è utilissimo! Me lo scarico, anche se per la dimostrazione per Weierstrass devo leggere prima le successioni, che le ho saltate perché non mi piacevano molto, ma ora bisogna che le fò.
"jitter":
Nel frattempo stavo pensando: si può dire che, se $ f(x) $ non ha (per assurdo) estremo superiore nel suo insieme immagine, allora esiste un $ x_0 $ nell'intervallo $ [a, b] $ tale che
$ lim_(x -> x_0) f(x) = oo $ ?
Perché, in quel caso, uno potrebbe dire che non è possibile perchè abbiamo supposto la funzione continua, cioè $ im_(x -> x_0) f(x) = f(x_0) $
Purtroppo no: ci sono funzioni illimitate su intervalli che non hanno limite infinito in nessun punto (per esempio se hanno carattere oscillatorio).
Comunque è un po' poco chiaro cosa intendi con "non ha estremo superiore nel suo insieme immagine". Se intendi "il suo insieme immagine non ha estremo superiore" è imprecisa perché in caso $+oo$ è un estremo superiore, se intendi "l'estremo superiore dell'insieme immagine non è dentro l'insieme immagine" beh basterebbe che l'immagine fosse un intervallo aperto, quindi è ancora più chiaro che le speculazioni successive non sono corrette.
Riguardo le successioni mi sa che ti tocca, sono un concetto fondamentale (cambia lo 03 in 02 nel link in caso ti servisse materiale!).
Accidenti ho da fare un bel lavoraccio 
Mi son scaricata tutti i file perché è qualche giorno che cerco qualcosa del genere! Mi sembrano pure simpatici, vediamo come mi trovo!
Mi son scaricata tutti i file perché è qualche giorno che cerco qualcosa del genere! Mi sembrano pure simpatici, vediamo come mi trovo!
Ma la dimostrazione che avevi tu da dove viene? E come fa a non usare le successioni? Non mi convince, e nelle conclusioni fa un ragionamento ciclico. "Il teorema afferma in sostanza che la f(x) è limitata in T": ma di nascosto l'hanna usata come ipotesi!.
Stavo per criticare anche la terminologia inesatta riguardo l'estremo superiore (che in sostanza viene definito solo per insiemi superiormente limititati, escludendo il caso $+oo$) ma leggendo meglio vedo che è anche quella utilizzata da Seneca nella prima risposta. Magari dipende da libro a libro e da professore e professore.
Fatto sta che con ciò che ha detto Seneca nel suo primo post resta il problema di capire che l'immagine è limitata, e la spiegazione utilizzando il fatto che una f constinua trasforma insiemi compatti in insiemi compatti non è utile: infatti questa proprietà è a tutti gli effetti una versione più generale del teorema di Weierstrass! Prendendo come buona quella non c'è praticamente più niente da dimostrare.
Stavo per criticare anche la terminologia inesatta riguardo l'estremo superiore (che in sostanza viene definito solo per insiemi superiormente limititati, escludendo il caso $+oo$) ma leggendo meglio vedo che è anche quella utilizzata da Seneca nella prima risposta. Magari dipende da libro a libro e da professore e professore.
Fatto sta che con ciò che ha detto Seneca nel suo primo post resta il problema di capire che l'immagine è limitata, e la spiegazione utilizzando il fatto che una f constinua trasforma insiemi compatti in insiemi compatti non è utile: infatti questa proprietà è a tutti gli effetti una versione più generale del teorema di Weierstrass! Prendendo come buona quella non c'è praticamente più niente da dimostrare.
E' chiaramente come dici tu, Yellow. L'estremo superiore di $E$ è il minimo dei maggioranti $E$. Quindi è richiesto che l'insieme dei maggioranti di $E$ sia non vuoto e cioè che l'insieme $E$ sia superiormente limitato.
Però il teorema che ho dato dovrebbe essere corretto.
Però il teorema che ho dato dovrebbe essere corretto.
Eh, no, io intendevo che spesso si definisce l'estremo superiore anche per insiemi non superiormente limitati, chiamandolo $+oo$, estendendo così l'esistenza dell'estremo superiore a qualsiasi sottoinsieme non vuoto di $RR$. Una semplificazione che ne risulta, ad esempio, è che qualsiasi successione crescente ammette limite (come sappiamo) e questo limite è sempre uguale all'estremo superiore dell'insieme dei valori della successione. Ma son solo definizioni.
Sì il teorema che dici è certamente vero, ma essendo sostanzialmente una generalizzazione di Weierstrass, usarlo per dimostrare Weierstrass mi sembra un po' "barare"! Infatti i compatti di $RR$ sono gli intervalli chiusi e limitati, va da sé che hanno massimo e minimo. La parte saliente è proprio quella presa come "risultato noto".
Sì il teorema che dici è certamente vero, ma essendo sostanzialmente una generalizzazione di Weierstrass, usarlo per dimostrare Weierstrass mi sembra un po' "barare"! Infatti i compatti di $RR$ sono gli intervalli chiusi e limitati, va da sé che hanno massimo e minimo. La parte saliente è proprio quella presa come "risultato noto".
Intendi il corollario che ho scritto nel secondo post?
Ma no, mica ho barato!
Io non ho dimostrato Weierstrass, ma ho dimostrato semplicemente che in $RR$ una funzione continua manda insiemi chiusi e limitati in insiemi chiusi e limitati (e passa attraverso al teorema di compattezza). Weierstrass diventa quindi un semplice corollario: basta constatare che sup e inf appartengono all'insieme immagine (perché l'insieme è chiuso) e sono rispettivamente il max e il min dell'insieme.
Ma no, mica ho barato!
Io non ho dimostrato Weierstrass, ma ho dimostrato semplicemente che in $RR$ una funzione continua manda insiemi chiusi e limitati in insiemi chiusi e limitati (e passa attraverso al teorema di compattezza). Weierstrass diventa quindi un semplice corollario: basta constatare che sup e inf appartengono all'insieme immagine (perché l'insieme è chiuso) e sono rispettivamente il max e il min dell'insieme.
Ok, è quello che stavo dicendo. Quindi dimostrare Weierstrass attraverso questi passaggi "vale" solo se dimostri questo teorema di compattezza. 
Però per l'autore del topic sarebbe solo una complicazione superflua in più.
Però per l'autore del topic sarebbe solo una complicazione superflua in più.
[quote="Però per l'autore del topic sarebbe solo una complicazione superflua in più.][/quote]
Beh... anche solo sapere che c'è qualcosa dietro è stato utile
[quote=yellow]Ma la dimostrazione che avevi tu da dove viene?]
Da Foresti, Pepe, Analisi matematica e numerica. Ma, al di là del libro, l'importante è aver capito che quell'ipotesi è da giustificare!
ciao
Beh... anche solo sapere che c'è qualcosa dietro è stato utile
[quote=yellow]Ma la dimostrazione che avevi tu da dove viene?]
Da Foresti, Pepe, Analisi matematica e numerica. Ma, al di là del libro, l'importante è aver capito che quell'ipotesi è da giustificare!
ciao
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