Teorema di unicità del limite
Salve a tutti.
Sto studiando in quinta liceo e sono davvero entusiasta del programma che stiamo affrontando. Ogni anno mi sembra ancor più meravigliosa di prima (se possibile) questa materia.
In ogni caso, curiosando in intenet ho notato che ci sono molte dimostrazioni "diverse" del teorema di unicità del limite. Volevo proporre quella da me studiata, nella speranza possa servire a qualcuno essendo secondo me una dimostrazione semplice e chiara (molto più di altre che ho letto).
Intanto occorre ricordare la definizione generale di limite:
$ lim_(x -> xo) f(x)=L $ se $ AA U $ (intorno di L) $ EE I(xo)$ tale che $AA x in I(xo) nn Df - {xo}$ , $ f(x) in U $ (NB, I(xo) indica l'intorno di xo)
A questo punto possiamo passare alla dimostrazione vera e propria:
Ipotesi:
$ lim_(x -> xo) f(x)=L $
Tesi:
L è unico.
Procediamo per asssurdo negando la testi e supponendo quindi che esistano due limiti 1) $ lim_(x -> xo) f(x)=L $ e 2) $ lim_(x -> xo) f(x)=L' $ con $ L != L' $ .
Prendiamo quindi due intorni di L e L', rispettivamente U e U' in modo tale che questi non abbiano punti in comune: $ U nn U' = O/ $
Per la 1) abbiamo che
$ AA U $ (intorno di L) $ EE I(xo)$ tale che $AA x in I(xo) nn Df - {xo}$, $ f(x) in U $
mentre per la 2) abbiamo che
$ AA U' $ (intorno di L') $ EE I(xo)$ tale che $AA x in I'(xo) nn Df - {xo}$, $ f(x) in U' $
I due intorni I(xo) e I'(xo) avranno però dei punti in comune (per definizione di intorno di xo come un qualunque intervallo aperto che contenga xo).
Prendiamo dunque in considerazione un numero x1 che appartenga sia a I(xo) sia a I'(xo) . Ma per quanto detto sopra, $ f(x1) in U $ e $ f(x1) in U' $. U e U' dovebbero avere quindi punti in comune e ciò va contro l'ìpotesi $ U nn U' = O/ $. Siamo dunque caduti in assurdo.
Non so se possa tornare utile a qualcuno. Se avete altre dimostrazioni che volete postare fate pure altrimenti spero vi possa servire a qualcosa questo topic. Ciao a tutti
Sto studiando in quinta liceo e sono davvero entusiasta del programma che stiamo affrontando. Ogni anno mi sembra ancor più meravigliosa di prima (se possibile) questa materia.
In ogni caso, curiosando in intenet ho notato che ci sono molte dimostrazioni "diverse" del teorema di unicità del limite. Volevo proporre quella da me studiata, nella speranza possa servire a qualcuno essendo secondo me una dimostrazione semplice e chiara (molto più di altre che ho letto).
Intanto occorre ricordare la definizione generale di limite:
$ lim_(x -> xo) f(x)=L $ se $ AA U $ (intorno di L) $ EE I(xo)$ tale che $AA x in I(xo) nn Df - {xo}$ , $ f(x) in U $ (NB, I(xo) indica l'intorno di xo)
A questo punto possiamo passare alla dimostrazione vera e propria:
Ipotesi:
$ lim_(x -> xo) f(x)=L $
Tesi:
L è unico.
Procediamo per asssurdo negando la testi e supponendo quindi che esistano due limiti 1) $ lim_(x -> xo) f(x)=L $ e 2) $ lim_(x -> xo) f(x)=L' $ con $ L != L' $ .
Prendiamo quindi due intorni di L e L', rispettivamente U e U' in modo tale che questi non abbiano punti in comune: $ U nn U' = O/ $
Per la 1) abbiamo che
$ AA U $ (intorno di L) $ EE I(xo)$ tale che $AA x in I(xo) nn Df - {xo}$, $ f(x) in U $
mentre per la 2) abbiamo che
$ AA U' $ (intorno di L') $ EE I(xo)$ tale che $AA x in I'(xo) nn Df - {xo}$, $ f(x) in U' $
I due intorni I(xo) e I'(xo) avranno però dei punti in comune (per definizione di intorno di xo come un qualunque intervallo aperto che contenga xo).
Prendiamo dunque in considerazione un numero x1 che appartenga sia a I(xo) sia a I'(xo) . Ma per quanto detto sopra, $ f(x1) in U $ e $ f(x1) in U' $. U e U' dovebbero avere quindi punti in comune e ciò va contro l'ìpotesi $ U nn U' = O/ $. Siamo dunque caduti in assurdo.
Non so se possa tornare utile a qualcuno. Se avete altre dimostrazioni che volete postare fate pure altrimenti spero vi possa servire a qualcosa questo topic. Ciao a tutti
Risposte
Guarda, sarò sincero: l'unica cosa che non avevo mai visto finora è la definizione di limite senza l'uso della $\varepsilon$, ma che comunque è valida. La dimostrazione è la canonica che ho sempre visto fare!
Guarda caso sono anche io in quinta liceo, sono anche io entusiasta del programma di analisi e anche io ho appena studiato il teorema di unicità del limite
Vorrei però postare la dimostrazione descritta sul mio libro (che, lo ammetto, non mi ha convinto totalmente), differente dalla tua.
Supponiamo per assurdo che la funzione f per $x\rightarrowx_0$ ammetta due limiti distinti $l_1$ e $l_2$, cioè che si abbia:
$lim_(x->x_0)f(x)=l_1$ e $lim_(x->x_0)f(x)=l_2$
In base alla definizione di limite, preso comunque un numero $\epsilon>0$, è possibile determinare due numeri positivi $\delta'_\epsilon$ e $\delta''_\epsilon$ tali che, per ogni $x in D_f$, verificante la condizione:
$0<|x-x_0|<\delta'_\epsilon$ risulti $|f(x)-l_1|<\epsilon$
$0<|x-x_0|<\delta''_\epsilon$ risulti $|f(x)-l_2|<\epsilon$
Ora, sia $\delta_\epsilon$ il minore tra i due numeri $\delta'_\epsilon$ e $\delta''_\epsilon$; per:
$0<|x-x_0|<\delta_\epsilon$
risulteranno verificate entrambe le disequazioni precedenti e potremo scrivere:
$|l_1-l_2|=|l_1-f(x)+f(x)-l_2|<=|f(x)-l_1|+|f(x)-l_2|<\epsilon+\epsilon=2\epsilon$
Data l'arbitrarietà di $\epsilon$, la condizione $|l_1-l_2|<2\epsilon$ implica che sia $|l_1-l_2|=0$, cioè $l_1=l_2$
Vorrei però postare la dimostrazione descritta sul mio libro (che, lo ammetto, non mi ha convinto totalmente), differente dalla tua.
Supponiamo per assurdo che la funzione f per $x\rightarrowx_0$ ammetta due limiti distinti $l_1$ e $l_2$, cioè che si abbia:
$lim_(x->x_0)f(x)=l_1$ e $lim_(x->x_0)f(x)=l_2$
In base alla definizione di limite, preso comunque un numero $\epsilon>0$, è possibile determinare due numeri positivi $\delta'_\epsilon$ e $\delta''_\epsilon$ tali che, per ogni $x in D_f$, verificante la condizione:
$0<|x-x_0|<\delta'_\epsilon$ risulti $|f(x)-l_1|<\epsilon$
$0<|x-x_0|<\delta''_\epsilon$ risulti $|f(x)-l_2|<\epsilon$
Ora, sia $\delta_\epsilon$ il minore tra i due numeri $\delta'_\epsilon$ e $\delta''_\epsilon$; per:
$0<|x-x_0|<\delta_\epsilon$
risulteranno verificate entrambe le disequazioni precedenti e potremo scrivere:
$|l_1-l_2|=|l_1-f(x)+f(x)-l_2|<=|f(x)-l_1|+|f(x)-l_2|<\epsilon+\epsilon=2\epsilon$
Data l'arbitrarietà di $\epsilon$, la condizione $|l_1-l_2|<2\epsilon$ implica che sia $|l_1-l_2|=0$, cioè $l_1=l_2$
@ Delirium: la dimostrazione che proponi è esattamente quella scritta di Albert Wesker, solo con il formalismo $delta$-$epsilon$ dietro.
Che cosa non ti convince totalmente?
P.S. Faccio notare che la dimostrazione canonica ha un "leggero" difetto, ovvero non copre tutti i casi: ci avevate mai pensato? avete provato solo l'unicità del limite quando questo è finito (per $x$ tendente a un valore finito). Naturalmente, non è difficile adattarla a tutti gli altri casi.
Che cosa non ti convince totalmente?
P.S. Faccio notare che la dimostrazione canonica ha un "leggero" difetto, ovvero non copre tutti i casi: ci avevate mai pensato? avete provato solo l'unicità del limite quando questo è finito (per $x$ tendente a un valore finito). Naturalmente, non è difficile adattarla a tutti gli altri casi.
"Paolo90":
P.S. Faccio notare che la dimostrazione canonica ha un "leggero" difetto, ovvero non copre tutti i casi: ci avevate mai pensato? avete provato solo l'unicità del limite quando questo è finito (per $x$ tendente a un valore finito). Naturalmente, non è difficile adattarla a tutti gli altri casi.
Se non ricordo male, basta aggiungere un paio di asterischi ed estendere la definizione di "intorno", giusto?
"Paolo90":
@ Delirium: la dimostrazione che proponi è esattamente quella scritta di Albert Wesker, solo con il formalismo $delta$-$epsilon$ dietro.
Che cosa non ti convince totalmente?
P.S. Faccio notare che la dimostrazione canonica ha un "leggero" difetto, ovvero non copre tutti i casi: ci avevate mai pensato? avete provato solo l'unicità del limite quando questo è finito (per $x$ tendente a un valore finito). Naturalmente, non è difficile adattarla a tutti gli altri casi.
Si, differente nella formulazione.
Comunque sia non mi è chiaro totalmente il seguente passaggio: $|l_1-l_2|<2\epsilon$ quindi, data l'arbitrarietà di $\epsilon$, è possibile dedurre che $l_1-l_2=0$. Ora, se $\epsilon>0$, la differenza tra $l_1$ e $l_2$ non è proprio 0, quindi $l_1$ ed $l_2$ non sono uguali... Tendono ad esserlo.
Ho detto una stupidata?
@ raptorista: sì, diciamo di sì. In alternativa puoi usare la dimostrazione di Albert Wesker usando il concetto di intorno "generico" (quindi anche intorno di $oo$). Quello che volevo sottolineare era che la dimostrazione di Delirium si adatta solo a quel caso (proprio perchè usa $epsilon$-$delta$).
@ Delirium: prova a dimostrare questo (spettacolare) fatto: sia $x>=0$ un numero reale tale che $forall epsilon>0$ si abbia $x
@ Delirium: prova a dimostrare questo (spettacolare) fatto: sia $x>=0$ un numero reale tale che $forall epsilon>0$ si abbia $x
Mmm... Ex abrupto mi viene in mente una cosa del genere: la relazione $0<=x<\epsilon$ è verificata solo quando $x=0$ perché, se così non fosse, se avessimo per esempio $x=1/5$, non sarebbe vero che per $AA \epsilon>0$ si avrebbe $x<\epsilon$ (infatti non tutti gli $\epsilon>0$ sono anche $>1/5$).
Che ne dici Paolo?
Che ne dici Paolo?
L'idea è giusta, anche se...
Riesci a formalizzare meglio quanto dici? Ragiona per assurdo... Viene fuori una dimostrazione breve ma elegante che ti permette di capire perchè da $|l_1-l_2|0$, puoi dedurre $l_1=l_2$.
P.S. Aggiungo comunque che quest'idea di sfruttare l'arbitrarietà dell'$epsilon$ è piuttosto usata nelle dimostrazioni di Analisi, quindi è bene - secondo me - capirla a fondo.
Riesci a formalizzare meglio quanto dici? Ragiona per assurdo... Viene fuori una dimostrazione breve ma elegante che ti permette di capire perchè da $|l_1-l_2|
P.S. Aggiungo comunque che quest'idea di sfruttare l'arbitrarietà dell'$epsilon$ è piuttosto usata nelle dimostrazioni di Analisi, quindi è bene - secondo me - capirla a fondo.
Provo a formalizzare.
Per assurdo supponiamo allora che $|l_1-l_2|!=0$ e quindi $l_1!=l_2$. Da questo si può dedurre che la relazione $|l_1-l_2|<\epsilon$ non è più valida per $AA\epsilon>0$ (è sufficiente un esempio numerico per dimostrarlo), il che palesa un'evidente contraddizione con l'assunto iniziale. Indi per cui è necessario e inevitabile che $|l_1-l_2|=0$.
Va meglio?
Per assurdo supponiamo allora che $|l_1-l_2|!=0$ e quindi $l_1!=l_2$. Da questo si può dedurre che la relazione $|l_1-l_2|<\epsilon$ non è più valida per $AA\epsilon>0$ (è sufficiente un esempio numerico per dimostrarlo), il che palesa un'evidente contraddizione con l'assunto iniziale. Indi per cui è necessario e inevitabile che $|l_1-l_2|=0$.
Va meglio?
Non intendevo la dimostrazione del fatto sui limiti, ma la dimostrazione del teoremino che ti ho riportato sopra.
Non mi piace quell'"esempio numerico", non è ben formalizzato, secondo me. Guarda ti dico come farei io.
Riporto l'enunciato per comodità.
Teorema. Sia $x>=0$ un numero reale tale che, $forall epsilon >0$, si abbia $x
Dimostrazione. Sia, per assurdo, $x!=0$ e quindi $x>0$. Visto che $epsilon$ possiamo sceglierlo liberamente (la disuguaglianza vale per ogni $epsilon$ positivo) si può prendere $epsilon=x/2$, da cui $x
Capisci che cosa intendevo? E' tutto chiaro? Da questo teorema segue subito il fatto sui limiti di cui si parlava sopra.
Non mi piace quell'"esempio numerico", non è ben formalizzato, secondo me. Guarda ti dico come farei io.
Riporto l'enunciato per comodità.
Teorema. Sia $x>=0$ un numero reale tale che, $forall epsilon >0$, si abbia $x
Dimostrazione. Sia, per assurdo, $x!=0$ e quindi $x>0$. Visto che $epsilon$ possiamo sceglierlo liberamente (la disuguaglianza vale per ogni $epsilon$ positivo) si può prendere $epsilon=x/2$, da cui $x
Capisci che cosa intendevo? E' tutto chiaro? Da questo teorema segue subito il fatto sui limiti di cui si parlava sopra.
Scegliere per esempio $x=1/5$ non verificherebbe il teorema perché non tutti gli $\epsilon>0$ sono anche maggiori di $1/5$ (sebbene il teorema dicesse esplicitamente che $AA\epsilon>0$, $x<\epsilon$), il che è contraddittorio. Con esempio numerico, intendevo questo.
Grazie per avermi illuminato in maniera chiara e semplice. Facendomi ragionare, mi hai portato a superare interamente la mia lacuna. Sei un grande!
Grazie per avermi illuminato in maniera chiara e semplice. Facendomi ragionare, mi hai portato a superare interamente la mia lacuna. Sei un grande!
"Delirium":
Scegliere per esempio $x=1/5$ non verificherebbe il teorema perché non tutti gli $\epsilon>0$ sono anche maggiori di $1/5$ (sebbene il teorema dicesse esplicitamente che $AA\epsilon>0$, $x<\epsilon$), il che è contraddittorio. Con esempio numerico, intendevo questo.
Sì, avevo capito il tuo esempio numerico, diciamo che "non mi piaceva troppo", ecco, lo trovavo non troppo formale e, visto che mi sei sembrato piuttosto preparato, volevo farti formalizzare per bene la cosa.
"Delirium":
Grazie per avermi illuminato in maniera chiara e semplice. Facendomi ragionare, mi hai portato a superare interamente la mia lacuna. Sei un grande!
Ma figurati, per così poco. Grazie a te per aver retto la mia pignoleria.
Ad maiora!
Ragazzi posso fare una domanda? un pò scontata, ma io non riusco a capire...
Nella dimostrazione di Delirium ad un certo punto dice:
perchè possiamo scrivere $|l_1-l_2|<2\epsilon$, cioè quello che non ho capito arrivato a questo punto:
$|l_1-l_2|<=|f(x)-l_1|+|f(x)-l_2|<2\epsilon$
so che per arrivare a scrivere questa $|l_1-l_2|<2\epsilon$ viene usata la disuguaglianza triangolare ma non capisco come....
Nella dimostrazione di Delirium ad un certo punto dice:
"Delirium":
risulteranno verificate entrambe le disequazioni precedenti e potremo scrivere:
$|l_1-l_2|=|l_1-f(x)+f(x)-l_2|<=|f(x)-l_1|+|f(x)-l_2|<\epsilon+\epsilon=2\epsilon$
Data l'arbitrarietà di $\epsilon$, la condizione $|l_1-l_2|<2\epsilon$ implica che sia $|l_1-l_2|=0$, cioè $l_1=l_2$
perchè possiamo scrivere $|l_1-l_2|<2\epsilon$, cioè quello che non ho capito arrivato a questo punto:
$|l_1-l_2|<=|f(x)-l_1|+|f(x)-l_2|<2\epsilon$
so che per arrivare a scrivere questa $|l_1-l_2|<2\epsilon$ viene usata la disuguaglianza triangolare ma non capisco come....
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