Teorema di Rolle:

[Magister1]

Salve, vorrei sapere perchè nella dimostrazione di Rolle, nel caso in cui m La funzione non è costante in I.(e va bene) poi poichè f(a)=f(b),almeno uno dei due punti c e d, rispettivamente punto di massimo e minimo, è interno all'intervallo.(perchè? se f(a) è diverso da f(b)?) poi suppone che il punto interno sia c, e fa il rapporto incrementale,(ma perchè? a cosa serve nella dimostrazione?

[gio73]

Ho studiato questo teorema vent'anni fa e vorrei vedere se a grandi linee me lo ricordo ancora; approfitto dunque del tuo interesse per una verifica (se avrai voglia di leggere quanto scrivo, non sei obbligato)
Allora se non sbaglio (e non ne sono sicura) il teorema di Rolle dice che se una funzione è continua in un intervallo (a,b) (aperto? meglio se chiuso? non ricordo) e se f(a)=f(b) allora deve esistere almeno un punto c interno all'intervallo in cui la derivata prima sia 0, cioè $f'(c)=0$.
Ciò equivale a dire che la retta tangente a quel punto ha il rapporto incrementale uguale a 0, cioè è parallela all'asse x. Secondo me se si fa il disegno si vede (perdona il linguaggio) che se una certa funzione ha un certo valore in a e deve avere lo stesso valore in b, allora o è una retta che congiunge i due punti di coordinate (a;f(a)) e (b;f(b)) o è una funzione che sale (o scende) ha un massimo (o un minimo) dunque derivata=0, e poi scende (sale) fino a tornare alla stessa quota iniziale, almeno una volta.
Ti pare sensato?

[Gi81]

"gio73":Allora se non sbaglio (e non ne sono sicura) il teorema di Rolle dice che se una funzione è continua in un intervallo (a,b) (aperto? meglio se chiuso? non ricordo) e se f(a)=f(b) allora deve esistere almeno un punto c interno all'intervallo in cui la derivata prima sia 0, cioè $f'(c)=0$.

Perdonami, ma se non ti ricordi le ipotesi non puoi guardare su un libro o consultare Wikipedia? Il teorema di Rolle è abbastanza famoso.

@Magister: siamo nel caso $m

[*:jqfd06zz] $a$ fosse di minimo e $b$ fosse di massimo avremmo che $f(a)= m$ e $f(b)=M$.
Dunque $f(a) [*:jqfd06zz] $b$ fosse di minimo e $a$ fosse di massimo avremmo che $f(a)= M$ e $f(b)=m$.
Dunque $f(a)>f(b)$. Stesso problema[/*:m:jqfd06zz][/list:u:jqfd06zz]
Quindi per forza almeno uno tra il punto di massimo e il punto di minimo deve stare in $(a,b)$

[gio73]

Del lei?
Sì grazie è vero potevo controllare, qui accanto a me ho istituzioni di matematiche di Giuseppe Zwirner.

[Gi81]

@gio73: chiedo scusa, ho corretto