Teorema di Rolle
Salve,dovrei verificare se la seguente funzione soddisfa tale teorema:
$f(x)= 2x+2 ( -1/2<=x<1), -x^2+4x+1 (1<=x<=4)$
La funzione al suo interno ha 2 funzioni...e non capisco:come devo fare?
Grazie,
$f(x)= 2x+2 ( -1/2<=x<1), -x^2+4x+1 (1<=x<=4)$
La funzione al suo interno ha 2 funzioni...e non capisco:come devo fare?
Grazie,
Risposte
E' solo "spezzata" in 2. L'intervallo $[a,b]$ del teorema considera che sia $[-1/2, 4]$.
Per verificare ipotesi di continuità e derivabilità controlla che le 2 funzioni che la definiscono siano continue e derivabili e che si "accordino" in $1$ sia come continuità che derivabilità.
Paola
Per verificare ipotesi di continuità e derivabilità controlla che le 2 funzioni che la definiscono siano continue e derivabili e che si "accordino" in $1$ sia come continuità che derivabilità.
Paola
"prime_number":
E' solo "spezzata" in 2. L'intervallo $[a,b]$ del teorema considera che sia $[-1/2, 4]$.
Per verificare ipotesi di continuità e derivabilità controlla che le 2 funzioni che la definiscono siano continue e derivabili e che si "accordino" in $1$ sia come continuità che derivabilità.
Paola
Devo verificare le funzioni ognuno per il proprio intervallo?Cioè,per esempio, la prima devo verificare le condizioni per $[-1/2,1[$ oppure nel intervallo $[-1/2, 4]$. ?
La funzione $f(x) $ ha una rappresentazione analitica diversa nei due intervalli $[-1/2,1) $ e $[1,4]$.
Il teorema di Rolle dice che se una funzione $f(x) $ è continua e derivabile in $(a,b) $ e tale che $f(a)=f(b) $ allora esiste almeno un punto $ c $ interno ad $(a,b)$ tale che $f'(c)=0 $.
Nel caso considerato la funzione è continua in$ [-1/2,4]$ in quanto nell'unico punto ( $x=1)$in cui potrebbe non esserlo invece lo è , cioè si ha che $f(1)= -1^2+4*1+1=4 $ ed è uguale al $ lim_(x rarr 1^(-) ) (2x+2)=4 $ .
Analogo discorso vale per le derivate che valgono, ognuna nel suo intervallo : $ 2 $ e $-2x+4 $ e ancora $lim_( x rarr 1^(+) )(-2x+4 )=2 $.
Quindi la funzione è continua e derivabile in $(-1/2,4)$.
Resta da verificare che $f(-1/2)=f(4) $ e pure questa ipotesi è verificata in quanto si ha $1=1 $.
Il teore4ma di Rolle è quindi applicabile .
Cerchiamo il punto $c $ che deve esistere anzi deve esistere almeno un punto $c $.
La derivata della funzione in $[-1/2,1 ) $vale $2 $ e non è mai nulla , il punto $c $ non si trova dunque in questo intervallo.
La derivata in $[1,4] $ è data da $ f'(x)= -2x+4 $ che vale $0 $ per $x= 2 $; quindi $c=2$.
Il teorema di Rolle dice che se una funzione $f(x) $ è continua e derivabile in $(a,b) $ e tale che $f(a)=f(b) $ allora esiste almeno un punto $ c $ interno ad $(a,b)$ tale che $f'(c)=0 $.
Nel caso considerato la funzione è continua in$ [-1/2,4]$ in quanto nell'unico punto ( $x=1)$in cui potrebbe non esserlo invece lo è , cioè si ha che $f(1)= -1^2+4*1+1=4 $ ed è uguale al $ lim_(x rarr 1^(-) ) (2x+2)=4 $ .
Analogo discorso vale per le derivate che valgono, ognuna nel suo intervallo : $ 2 $ e $-2x+4 $ e ancora $lim_( x rarr 1^(+) )(-2x+4 )=2 $.
Quindi la funzione è continua e derivabile in $(-1/2,4)$.
Resta da verificare che $f(-1/2)=f(4) $ e pure questa ipotesi è verificata in quanto si ha $1=1 $.
Il teore4ma di Rolle è quindi applicabile .
Cerchiamo il punto $c $ che deve esistere anzi deve esistere almeno un punto $c $.
La derivata della funzione in $[-1/2,1 ) $vale $2 $ e non è mai nulla , il punto $c $ non si trova dunque in questo intervallo.
La derivata in $[1,4] $ è data da $ f'(x)= -2x+4 $ che vale $0 $ per $x= 2 $; quindi $c=2$.
"Camillo":
Resta da verificare che $f(-1/2)=f(4) $ e pure questa ipotesi è verificata in quanto si ha $1=1 $.
Non ho capito questo passaggio.Perché hai sostituito $-1/2$ alla prima funzione e $4$ alla seconda?
"Camillo":
La derivata della funzione in $[-1/2,1 ) $vale $2 $ e non è mai nulla , il punto $c $ non si trova dunque in questo intervallo.
La derivata in $[1,4] $ è data da $ f'(x)= -2x+4 $ che vale $0 $ per $x= 2 $; quindi $c=2$.
Dato che ho verificato sia la continuità e la derivabilità in tutto l'intervallo,posso evitare di scrivere quelli iniziali,e scrivere e considerare solo $(-1/2,4)$?
"shintek20":
[quote="Camillo"]
Resta da verificare che $f(-1/2)=f(4) $ e pure questa ipotesi è verificata in quanto si ha $1=1 $.
Non ho capito questo passaggio.Perché hai sostituito $-1/2$ alla prima funzione e $4$ alla seconda?
"Camillo":
La derivata della funzione in $[-1/2,1 ) $vale $2 $ e non è mai nulla , il punto $c $ non si trova dunque in questo intervallo.
La derivata in $[1,4] $ è data da $ f'(x)= -2x+4 $ che vale $0 $ per $x= 2 $; quindi $c=2$.
Dato che ho verificato sia la continuità e la derivabilità in tutto l'intervallo,posso evitare di scrivere quelli iniziali,e scrivere e considerare solo $(-1/2,4)$?[/quote] Sì
*Ho verificato se $f(a)=f(b)$ essendo $a, b $ gli estremi inf e sup dell'intervallo di definizione della funzione.
ok grazie.
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