Teorema di Cauchy: a che serve e che sta a significare?

[Maturando]

Ciao ragazzi, in questi giorni sono alle prese con lo studio delle derivate e di tutto ciò che è legato ad esse. Sto studiando i teoremi di Rolle, La Grange e Cauchy, ebbene se dei primi due posso dire di aver almeno afferrato il concetto, di quello di Cauchy nonostante averlo riletto più volte, non ho capito proprio l'essenza.

Un' altra cosa: so che il differenziale è uguale all'incremento $\Delta$x(che corrsiponde a dx) per la derivata di x, ma a che mi serve?

[Akuma1]

ciao, quel teorema serve a dimostrare il teorema di Dell'Hospital.
per quanto riguarda il differenziale ritorna utile in molte teorie di fisica e tecnica quando si considerano variazioni infinitesime di certe grandezze.

[mathmum]

Puoi "vedere" geometricamente il differenziale come l'incremento $dy$ dell'ordinata relativo all'incremento $Delta$x dell'ascissa, calcolato sulla retta tangente alla curva nel punto $P(x,f(x))$ invece che sulla curva stessa (quello che di solito chiami $Deltay$)

L'utilizzo del differenziale è fondamentale anche nel calcolo integrale, ma questo lo vedrai più avanti...

Per quanto riguarda il Teo. di Cauchy, mi sembra riduttivo dire che è un "ingrediente" per dimostrare qualsivoglia teorema; rileggendolo "in italiano" e non in "matematichese" ci dice che possiamo utilizzare indifferentemente il rapporto tra gli incrementi di due funzioni (belle, cioè senza buchi o angolacci, cioè continue e derivabili) in un intervallo e il rapporto tra le rispettive derivate, calcolate in un punto interno all'intervallo.

nota (non sul registro) Lagrange, non La Grange

[Maturando]

"mathmum":Puoi "vedere" geometricamente il differenziale come l'incremento $dy$ dell'ordinata relativo all'incremento $Delta$x dell'ascissa, calcolato sulla retta tangente alla curva nel punto $P(x,f(x))$ invece che sulla curva stessa (quello che di solito chiami $Deltay$)

L'utilizzo del differenziale è fondamentale anche nel calcolo integrale, ma questo lo vedrai più avanti...

Per quanto riguarda il Teo. di Cauchy, mi sembra riduttivo dire che è un "ingrediente" per dimostrare qualsivoglia teorema; rileggendolo "in italiano" e non in "matematichese" ci dice che possiamo utilizzare indifferentemente il rapporto tra gli incrementi di due funzioni (belle, cioè senza buchi o angolacci, cioè continue e derivabili) in un intervallo e il rapporto tra le rispettive derivate, calcolate in un punto interno all'intervallo.

nota (non sul registro) Lagrange, non La Grange

Grazie per la risposta e scusa la distrazione...ma quindi il teorema di Cauchy in pratica dice che possiamo utilizzare la regola di De L'Hospital...

Mathmum ma sei per caso quella del forum di geogebra? Se si io sono quello che aveva posto la domanda sulle derivate

[mathmum]

Yess.
Io mi occupo della versione italiana di Geogebra e del sito it.

[Fioravante Patrone1]

"mathmum":
nota (non sul registro) Lagrange, non La Grange

o anche Lagrangia

[Alexp1]

Ciao, non solo De L'Hopital.....il teorema di Cauchy, permette anche di dimostrare la scomposizione di una funzione nella serie di Taylor, in quanto il teorema di Lagrange è considerato come un caso particolare del teorema di Cauchy.