Teorema della media e Lagrange
Salve, ho dato oggi l'esame di maturità e in un punto era richiesto il valore medio... Io ho usato il teorema della media.. Il professore che quest'anno purtroppo era esterno(e ahimè ne capiva molto poco ) ci ha detto no assolutamente no senza integrale! Fate Lagrange.. e ovviamente ho corretto. Un mio amico ora mi ha chiamato e mi ha detto che tutti quelli risolti su internet nei vari siti( deduco da persone esperte o per lo meno preparate) hanno risolto il punto usando il teorema della media!!!
Mi potreste dire se è comunque corretto o in parole da me comprensibili la differenza sostanziale tra i due procedimenti??
Mi potreste dire se è comunque corretto o in parole da me comprensibili la differenza sostanziale tra i due procedimenti??
Risposte
nessunissima differenza, il teorema della media integrale si ottiene proprio a partire dal teorema di lagrange.
Naturalmente però per valore medio della fuznione si intende qeullo della funzione appunto, e non della sua derivata, quindi una volta applicato lagrange supponendo che nell' intervallo desiderato esso sia applicabile avresti dovuto integrarla
Ti faccio vedere $ (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c) $
dove l' intervallo considerato è $ [a,b] $ e quindi per le ipotesi di lagrande deve essere continua in tale intervallo e derivabile nello stesso intervallo aperto, mentre c è un punto interno all'intervallo.
Ora procediamo integrando : $ f(c)=int_()^() (f(b)-f(a))/(b-a) dx =1/(b-a)int_()^() f(b)-f(a) dx =1/(b-a)int_(a)^(b) f(x) dx $
Che è appunto il teorema della media integrale.
Naturalmente però per valore medio della fuznione si intende qeullo della funzione appunto, e non della sua derivata, quindi una volta applicato lagrange supponendo che nell' intervallo desiderato esso sia applicabile avresti dovuto integrarla
Ti faccio vedere $ (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c) $
dove l' intervallo considerato è $ [a,b] $ e quindi per le ipotesi di lagrande deve essere continua in tale intervallo e derivabile nello stesso intervallo aperto, mentre c è un punto interno all'intervallo.
Ora procediamo integrando : $ f(c)=int_()^() (f(b)-f(a))/(b-a) dx =1/(b-a)int_()^() f(b)-f(a) dx =1/(b-a)int_(a)^(b) f(x) dx $
Che è appunto il teorema della media integrale.
Ah ok grazie mille allora era come pensavo io, secondo lei quindi mi verrá comunque dato giusto ?! Mi dispiacerebbe non aver preso 15/15 soprattutto non per colpa mia!
Se vi interessa, nella secondaria di secondo grado c'è il thread "ufficiale" per la maturità.
viewtopic.php?f=11&t=118195
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"Stardust":
Ah ok allora era come pensavo io, secondo lei quindi mi verrá comunque dato giusto ?! Mi dispiacerebbe non aver preso 15/15 soprattutto non per colpa mia!
A essere fiscali lui non avrebbe dovuto neanche rispondervi.
"Wormhole":
Ora procediamo integrando : $ f(c)=int_()^() (f(b)-f(a))/(b-a) dx =1/(b-a)int_()^() f(b)-f(a) dx =1/(b-a)int_(a)^(b) f(x) dx $
Che è appunto il teorema della media integrale.
Io e l'analisi non andiamo molto d'accordo ma a me sembra che la tua integrazione sia un po' discutibile: \(\displaystyle f(b) \), \(\displaystyle f(a) \), \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \) sono tutti indipendenti dalla \(\displaystyle x \) quindi un integrale come \(\displaystyle \int^b_a \frac{f(b)-f(a)}{b - a}\,dx \) risulterebbe come:
\[ \int^b_a \frac{f(b)-f(a)}{b - a}\,dx = \frac{f(b)-f(a)}{b - a} \int^b_a 1 \,dx = (b-a)\frac{f(b)-f(a)}{b - a} = f(b)-f(a) \]
che non è teorema della media.
"Stardust":
Ah ok grazie mille allora era come pensavo io, secondo lei quindi mi verrá comunque dato giusto ?! Mi dispiacerebbe non aver preso 15/15 soprattutto non per colpa mia!
Non darmi del lei ho solo 19 anni XD
Comunque ci tengo a a far notare che la mia non è affatto una dimostrazione della media integrale, infatti ci sono errori di notazioni come integrale di una funzione in un punto il che non ha senso, era solo per farti vedere che possono ricondurre ad uno stesso risultato, la vera dimostrazione fa uso di somme integrali inferiori e superiori
Rispondendo alla tua domanda io non so di preciso quale era il testo del quesito: se ti chiedeva il punto medio allora usi lagrange, se invece valore medio della funzione nel punto( cioè nel punto medio) allora usi media integrale
per Vict 85
Si lo so, pensavo di aver inviato il messaggio precedente molto prima e invece non andava la connessione
HO aggiunto che non era neanche minimamente una dimostrazione, nell' ultimo passaggio avrei usato il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Ma più che altro il più grande errore nel voler prendere per rigorosa tale mia pseudo. dimostrazione è che proprio all inizio io avrei fatto : $ f(c)=int_()^() f'(c) dx $
che appunto è assurdo
era una cosa banale e semplice( ma errata) di far vedere quanto possano essere vicini i due teoremi.
Si lo so, pensavo di aver inviato il messaggio precedente molto prima e invece non andava la connessione
HO aggiunto che non era neanche minimamente una dimostrazione, nell' ultimo passaggio avrei usato il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Ma più che altro il più grande errore nel voler prendere per rigorosa tale mia pseudo. dimostrazione è che proprio all inizio io avrei fatto : $ f(c)=int_()^() f'(c) dx $
che appunto è assurdo
era una cosa banale e semplice( ma errata) di far vedere quanto possano essere vicini i due teoremi.
"vict85":
[quote="Stardust"]Ah ok allora era come pensavo io, secondo lei quindi mi verrá comunque dato giusto ?! Mi dispiacerebbe non aver preso 15/15 soprattutto non per colpa mia!
A essere fiscali lui non avrebbe dovuto neanche rispondervi. [/quote]
A essere onesto sia a noi sia stranamente a tutti gli alunni delle altre sezioni (con professori diversi) era stato raccomandato (insieme ad altre cose) che nel caso ci fosse stato un quesito o un punto del problema in cui ci fosse cenno della parola "media" o valor medio di chiedere all'esterno.. Suppongo ci sia un motivo matematico di fondo!!!
"Stardust":
A essere onesto sia a noi sia stranamente a tutti gli alunni delle altre sezioni (con professori diversi) era stato raccomandato (insieme ad altre cose) che nel caso ci fosse stato un quesito o un punto del problema in cui ci fosse cenno della parola "media" o valor medio di chiedere all'esterno.. Suppongo ci sia un motivo matematico di fondo!!!
Il problema è che esistono più ‘medie’. Per esempio per certi versi se \(\displaystyle M \) e \(\displaystyle m \) sono massimo e minimo della funzione in un intervallo allora \(\displaystyle \frac{m-n}{b-a} \) è un punto medio (è il punto medio dell'immagine). In calcolo delle probabilità il termine media o valore atteso ha inoltre una definizione particolare https://it.wikipedia.org/wiki/Valore_atteso . Detto questo penso che il testo si riferisse proprio al valore medio integrale.
@ Wormhole: La tua argomentazione fa acqua.
Se proprio vuoi usare il Teorema di Lagrange (TdL) per provare il Teorema della Media Integrale (TMI), devi usare la cosiddetta funzione integrale, i.e. la funzione:
\[
F(x) := \int_a^x f(t)\ \text{d} t\; ,
\]
ove \(f\) è continua in \([a,b]\). La funzione \(F\) è allora derivabile in \(]a,b[\) ed ha \(F^\prime (x)=f(x)\) (per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale); inoltre, per il TdL, esiste \(c\in ]a,b[\) tale che:
\[
F(b)-F(a) = F^\prime (c)\ (b-a) \quad \Rightarrow \quad \int_a^b f(t)\ \text{d} t = f(c)\ (b-a)
\]
il che è il TMI.
Quindi abbiamo l'implicazione TdL \(\Rightarrow\) TMI.
Se proprio vuoi usare il Teorema di Lagrange (TdL) per provare il Teorema della Media Integrale (TMI), devi usare la cosiddetta funzione integrale, i.e. la funzione:
\[
F(x) := \int_a^x f(t)\ \text{d} t\; ,
\]
ove \(f\) è continua in \([a,b]\). La funzione \(F\) è allora derivabile in \(]a,b[\) ed ha \(F^\prime (x)=f(x)\) (per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale); inoltre, per il TdL, esiste \(c\in ]a,b[\) tale che:
\[
F(b)-F(a) = F^\prime (c)\ (b-a) \quad \Rightarrow \quad \int_a^b f(t)\ \text{d} t = f(c)\ (b-a)
\]
il che è il TMI.
Quindi abbiamo l'implicazione TdL \(\Rightarrow\) TMI.
Rimane il problema di fondo comunque: il teorema di Lagrange è un teorema di esistenza, mentre l'esercizio chiedeva di trovare il punto medio. Quindi è impossibile usare il teorema di Lagrange per calcolare la soluzione dell'esercizio, perché di per se non fornisce informazioni sul valore di \(c\).
@ vict85: Vi state riferendo al punto 3 del tema di ordinamento dello scientifico, vero?
Beh, lì si chiede il valor medio di \(f^\prime\) quindi si deve usare il TMI; inoltre, noto che il valor medio di \(f^\prime\) è proprio il valore \(f^\prime (c)\) preso da \(f^\prime\) nel punto \(c\) fornito dal TMI.
In particolare, è chiaro che:
\[
f^\prime (c) = \frac{1}{2\pi -0}\ \int_0^{2\pi} f^\prime (x)\ \text{d} x = \frac{1}{2\pi}\ \int_0^{2\pi} \left( \cos \left( \frac{x}{2}\right) + \frac{1}{2}\right)\ \text{d} x
\]
e basta fare due conticini.
Beh, lì si chiede il valor medio di \(f^\prime\) quindi si deve usare il TMI; inoltre, noto che il valor medio di \(f^\prime\) è proprio il valore \(f^\prime (c)\) preso da \(f^\prime\) nel punto \(c\) fornito dal TMI.
In particolare, è chiaro che:
\[
f^\prime (c) = \frac{1}{2\pi -0}\ \int_0^{2\pi} f^\prime (x)\ \text{d} x = \frac{1}{2\pi}\ \int_0^{2\pi} \left( \cos \left( \frac{x}{2}\right) + \frac{1}{2}\right)\ \text{d} x
\]
e basta fare due conticini.
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