Teorema della bisettrice + teorema del coseno

[Jlover]

Ciao,:hi

Mi potete aiutare a risolvere questo problema?

Determina la misura delle bisettrici di un triangolo di lati 4,6 e 8 unità.

Grazie in anticipo! :thx

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Dato un generico triangolo di lati

[math]\overline{AB} = a[/math]

,

[math]\overline{BC} = b[/math]

e

[math]\overline{CA} = c[/math]

,
grazie al teorema della bisettrice e al teorema del coseno si può facilmente
dimostrare che le bisettrici dei tre angoli interni misurano rispettivamente:

[math]\small \overline{LB} = \frac{\sqrt{a\,b}\sqrt{(a + b)^2 - c^2}}{a + b}[/math]

,

[math]\small \overline{MC} = \frac{\sqrt{b\,c}\sqrt{(b + c)^2 - a^2}}{b + c}[/math]

ed

[math]\small \overline{NA} = \frac{\sqrt{c\,a}\sqrt{(c + a)^2 - b^2}}{c + a}\\[/math]

.
Ora, al di là di inserire i numeretti in tali espressioni e calcolare immediatamente i
risultati (che magari potrai fare alla fine per verifica) sapresti applicare tali teoremi
al tuo specifico triangolo per il calcolo delle misure delle rispettive bisettrici? :)

[Jlover]

Per calcolarle utilizzerei le proporzioni che si possono ricavare da questi teoremi.

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Ora ti mostro il calcolo di

[math]\overline{LB}\\[/math]

.

In riferimento al seguente triangolo:



per il teorema della bisettrice, si ha:

[math]\frac{4}{6} = \frac{x}{8 - x} \; \Rightarrow \; x = \frac{16}{5}\\[/math]

,

mentre per il teorema del coseno, rispettivamente, si ha:

[math]\left(\frac{16}{5}\right)^2 = 4^2 + y^2 - 2\cdot 4\cdot y \cdot \cos\alpha \; \Rightarrow \; \cos\alpha = \frac{y^2 + \frac{144}{25}}{8y}\\[/math]

;

[math]\left(\frac{24}{5}\right)^2 = y^2 + 6^2 - 2\cdot y\cdot 6 \cdot \cos\alpha \; \Rightarrow \; \cos\alpha = \frac{y^2 + \frac{324}{25}}{12y}\\[/math]

.

Quindi, non rimane che risolvere la seguente equazione per

[math]y > 0\\[/math]

:

[math]\frac{y^2 + \frac{144}{25}}{8y} = \frac{y^2 + \frac{324}{25}}{12y} \; \; \; \Rightarrow \; \; \; y = \frac{6}{5}\sqrt{6}\\[/math]

,

concludendo:

[math]\overline{LB} = y = \frac{6}{5}\sqrt{6}\\[/math]

.

A te i conticini per il calcolo di

[math]\overline{MC}[/math]

ed

[math]\overline{NA}[/math]

. ;)

[Jlover]

Grazie mille!!